Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды (стр. 4 из 10)

Введем данную формулу, как формулу массива для этого нажмем на клавишу F2 или активизируем строку формул. После ввода формулы массива удерживая клавиши <Shift> и <Ctrl> жмем на клавишу<Enter>.

Рисунок 1.18

Таблица 1.1 представляет возвращаемые переменные в ячейках формулы массива (Рисунок 1.18).

Таблица 1.1

Коэффициент регрессии, b	Свободный член, a
СКО коэффициент регрессии b, mb	СКО коэффициента а, ma
Коэффициент детерминации, D	Стандартное отклонение наблюдаемых значений независимой переменной от линии регрессии, σrem (корень из Drem)
F-отношение	Число степеней свободы n-2 в F-критерии (1, n-2, α)
Сумма квадратов отклонений, объясняемой регрессией	Остаточная сумма квадратов

При повторе моделирования (путем нажатия клавиши F9) полученные с данной функцией результаты совпадают с ранее вычисленными «вручную».

1.7. Идентификация с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel. После вызова команды «Анализ данных» в меню «Сервис» выберем инструмент анализа «Регрессия». В диалоговом окне (Рисунок 1.19) введем интервалы для независимой и зависимой переменных xy.

Введем значение уровень надежности равный (1-α)100%, где α - уровень значимости. Например, для уровня значимости α =0,05, «Уровень значимости» будет составлять 95%.

Установим флажок на «выходном интервале» и в соседнюю ссылку вставим адрес левой верхней ячейки, с которой будут выводиться результаты анализа.

Рисунок 1.19

Рисунок 1.20 представляет результат анализа.

Заголовки таблицы «ВЫВОД ИТОГОВ».

Регрессионная статистика.

Множественный R – коэффициент корреляции, Данный пакет может быть использован для идентификации множественной регрессии (что будет рассмотрено далее), чем и объясняется определение данного коэффициента.

R-квадрат – коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка – корень квадратный из среднего квадрата отклонений D_rem.

Наблюдения – число наблюдений.

Дисперсионный анализ

Регрессия d_f – число степеней свободы (degree of freedom) для S_fact (сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией).

Остаток - d_f – число степеней свободы для S_rem (остаточная сумма квадратов отклонений).

Итого - d_f – число степеней свободы для S_com (общая сумма квадратов отклонений).

Регрессия - SS –сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (S_fact).

Остаток - SS –остаточная сумма квадратов отклонений (S_rem).

Итого SS –общая сумма квадратов отклонений (S_com).

Регрессия - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_fact).

Остаток - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_rem).

Итого - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_com).

F – F-отношение.

Значимость F - вероятность принятия нулевой гипотезы (гипотезы об отсутствии связи).

Y-пересечение – Коэффициенты – оценка коэффициента а.

Переменная х₁- Коэффициенты - оценка коэффициента b.

Y-пересечение (Переменная х₁, х₂) – Стандартная ошибка – СКО оценки коэффициентов а и b.

Y-пересечение (Переменная х₁, х₂) – t-статистика – фактические значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов а и b.

Y-пересечение (Переменная х₁, х₂) - Р-значения - вероятность принятия нулевой гипотезы относительно коэффициентов регрессии а и b.

Y-пересечение (Переменная х₁, х₂) – Нижние (Верхние) 95% - Нижние и верхние доверительные границы для коэффициентов регрессии а и b для доверительной вероятности 0,95 (а=0,05).

(Экспоненциальная форма представления числа 1Е-44 эквивалентна записи 1*10-44).

1.7.1. Сопоставим значения таблицы «ВЫВОД ИТОГОВ» с рассчитанными вручную и с использованием функции «ЛИНЕЙН».

Рисунок 1.20

1.8 Анализ регрессии для реальных экономических показателей

По статистическим данным за n-ый год сформирована таблица. Проведем идентификацию и анализ парной линейной регрессии, используя функцию «Линейн» ППП Excel (Рисунок 1.21).

Рисунок 1.21

На основе данной таблицы и с помощью функции «Линейн» ППП Excel получаем следующие данные (Рисунок 1.22):

Рисунок 1.22

Из полученных данных можем вывести линейное уравнение зависимости y от x. Оно имеет вид: y=74,999214+0,029281x, т.е. с увеличением выручки на 1 руб., зар.плата будет увеличиваться на 0,029281 в среднем.

Судя по значению D=0,443311- связь переменных регрессии умеренная. Причем, 44%- это доля вариации y, объясненная вариацией фактора x, включенного в уравнение, а остальные 56% вариаций приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении.

Выдвинем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0. С помощью таблицы Стьюдента определили, что t_таблдля числа степеней свободы d_f=n-2=30-2=28 и а=0,05 составляет 2,0484.

t_a=74,999214/7,3521127=10,2> t_таблt_b=0,029281/0,006201=4,72> t_табл

Исходя из этого, гипотеза Н_оотклоняется т.е. a и b неслучайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

2. Моделирование и идентификация парной нелинейной регрессии

2.1. План работы

В процессе выполнения данной работы необходимо:

-синтезировать модель Монте-Карло парной нелинейной регрессии (прямая задача).

-вычислить параметры парной нелинейной регрессии (обратная задача идентификации.

-оценить существенность параметров линейной регрессии и доверительные интервалы линии регрессии.

-оценить доверительные интервалы прогноза.

-составить отчет по работе.

2.2. Модель Монте-Карло нелинейной регрессии

Парная нелинейная регрессия подразделяется на два вида

-нелинейная относительно независимой переменной x,

-нелинейная относительно оцениваемых параметров a и b.

Примером первого вида являются уравнения:

(2.1)

Примером второго вида являются степенная и экспоненциальная функции:

, где (2.2)

x - независимая переменная (признак-фактор),

y - зависимая переменная (результативный признак),

a, b - параметры модели.

e - случайное отклонение наблюдаемой зависимой переменной, вызванное влиянием других факторов. Аналогично линейным моделям данная величина распределена по центрированному нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ_е. Задачей идентификации регрессионной модели является по данным реальных наблюдений зависимой (y) и независимой (x) переменной при наличии случайных отклонений (e) оценить параметры регрессионной модели a и b.

Парная нелинейная регрессия относительно независимой переменной x легко приводится к линеному виду путем замены переменной (z=x3 – для первого уравнения и z=1/x2 – для второго).

(2.3)

Уравнения парной нелинейной регрессия относительно оцениваемых параметров a и b не все приводятся к линейному виду. В данной работе рассматриваются модели, которые могут быть приведены к линейному виду (такие нелинейные модели называются внутренне линейными).

Степенная и экспоненциальная модели внутренне линейны, поскольку они могут быть приведены в линейному виду.

Так, для степенного уравнения логарифмирование позволяет получить линейную модель в виде:

(2.4)

Аналогично экспоненциальная модель приводится как:

(2.5)

Данные уравнения являются основой статистического моделирования нелинейной регрессии.

Значения параметров для выполнения работы определяется вариантом. Ниже представлена методика выполнения работы для уравнения