Лекции по Математике 2 (стр. 3 из 10)
| Сложение: | 1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак. П р и м е р ы : ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ; ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 .2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной. П р и м е р ы : ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ; ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 . |
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.
П р и м е р ы :
( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;
( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;
( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;
( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;
Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.
П р и м е р :
Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.
Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении:
+ : + = +
+ : – = –
– : + = –
– : – = +
П р и м е р : ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .
Одночлены и многочлены
Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.
Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.
Вынесение за скобки. Умножение одночленов. Деление одночленов.
Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.
Раскрытие скобок.
Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,
3 a 2 b 4 , b d 3 , – 17 a b c
- одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.
Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.
Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:
a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .
Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.
Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.
П р и м е р :
5 a x 3 z 8 ( – 7 a 3 x 3 y 2 ) = – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .
Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.
П р и м е р :
35 a 4 x 3 z 9 : 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.
Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:
( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra раскрытие скобок.
Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.
П р и м е р :
( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =
= xa + xb + ya + yb + za + zb .
Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.
Формулы сокращённого умножения
Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.
Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.
[1] ( a + b )² = a² + 2ab + b² ,
[2] ( a – b )² = a² – 2ab + b² ,
[3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b²,
[4] ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ,
[5] ( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ ,
[6] ( a + b )( a² – ab + b² ) = a³ + b³ ,
[7] ( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³ .
П р и м е р . Вычислить 99³, используя формулу [5] .
Р е ш е н и е : 99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.
Деление многочленов
Что значит разделить один многочлен P на другой Q ? Это значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:
1) имеет место равенство: MQ + N = P ;
2) степень многочлена N меньше степени многочлена Q.
Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:
1) Делим первый член 16a³ делимого на первый член 4a² делителя; результат 4a является первым членом частного.
2) Умножаем полученное выражение 4a на делитель 4a² – a + 2 ; записываем результат 16a³ – 4a² + 8a под делимым (один подобный член под другим).
3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a² –13a + 7 .
4) Делим первый член 12a² этого выражения на первый член 4a² делителя; результат 3 – это второй член частного.
5) Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a² – a + 2 и вновь записываем результат 12a² – 3a + 6 под делимым (один подобный член под другим).
6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток: – 10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.
В результате получили частное 4a + 3 и остаток –10 a + 1.
Деление многочлена на линейный двучлен
Линейный двучлен. Теорема Безу.
Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b, где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени (см. параграф “Деление многочленов”), т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу: многочлен a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am делится на двучлен x – b с остатком N = a0 bm + a1 bm-1 + a2 bm-2 + …+ bm .
Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением операции деления многочленов (см. параграф “Деление многочленов”) мы имеем:
a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am = ( x – b ) Q + N ,
где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.
Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:
a0 bm + a1 bm-1 + a2 bm-2 + …+ am = N .
З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:
a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am = 0 .
Теорема доказана.
Делимость двучленов
Cледствием теоремы Безу являются следующие признаки делимости двучленов:
| 1) | Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел, т.e. x m – a m делится на x – a . |
| 2) | Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму, т.е. если m - чётное число, то двучлен x m – a m делится как на x – a так и на x + a .Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел. |
| 3) | Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел. |
| 4) | Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел. |
| 5) | Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел никогда не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму. |
П р и м е р ы : ( x2 – a2 ) : ( x – a ) = x + a ;
( x3 – a3 ) : ( x – a ) = x2 + a x+ a2 ;
( x5 – a5 ) : ( x – a ) = x4 + a x3 + a2 x2 + a3 x + a4 .
Разложение многочленов на множители
В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.
| 1. | Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки (см. раздел “Одночлены и многочлены”). |
| 2. | Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за скобки и многочлен будет разложен на множители. П р и м е р : ax+ bx+ ay+ by = ( ax+ bx ) + ( ay + by ) = = x( a + b ) + y ( a + b ) = ( x + y ) ( a + b ) . |
| 3. | Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.П р и м е р : y2 – b2 = y2 + yb – yb – b2 = ( y2 + yb ) – ( yb + b2 ) = = y ( y + b ) – b ( y + b ) = ( y + b ) ( y – b ) . |
| 4. | Использование формул сокращённого умножения. |
Алгебраические дроби