Лекции по Математике 2 (стр. 4 из 10)
Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.
Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.
Алгебраическая дробь – это выражение вида A / B, где A и B могут быть числом, одночленом, многочленом. Как и в арифметике, A называется числителем, B – знаменателем. Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической.
Сокращение дробей
П р и м е р :
Сложение и вычитание дробей
Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей, необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике.
П р и м е р :
Умножение и деление дробей
Умножение и деление алгебраических дробей ничем не отличаются от тех же действий в арифметике. Сокращение дроби можно выполнить как до, так и после умножения числителей и знаменателей.
П р и м е р :
Пропорции
Пропорция. Свойства пропорций.
Производные пропорции.
Пропорция – это равенство двух отношений.
Из пропорции
следует: ad = bc (произведения накрест-лежащих членов пропорции равны).И наоборот, из равенства ad = bc следуют пропорции:
Все эти пропорции, а также некоторые другие, могут быть получены из исходной пропорции a / b = c / d по нижеследующим правилам.
Накрест-лежащие члены любой пропорции можно поменять местами.
Отношения в любой пропорции можно заменить обратными.
Производные пропорции. Если
то следующие производные пропорции, полученные из исходной, также имеют место: 
Эти и другие пропорции могут быть объединены двумя основными формулами:
П р и м е р : Если m = n = k = 1, l = 0, то мы получим:
Основные методы решения уравнений
Что такое решение уравнения?
Тождественное преобразование. Основные
виды тождественных преобразований.
Посторонний корень. Потеря корня.
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:
| 1. | Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x2 + 12x + 4 = 15x + 10 . |
| 2. | Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x2 – 3x – 6 = 0 . |
| 3. | Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.П р и м е р . Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим: 3x2 – x – 2 = 0 .Это уравнение равносильно исходному:( 3x+ 2 )2 = 15x + 10 . |
| 4. | Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что: а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней; б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.П р и м е р ы . Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49x2 = 1225 . имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения 49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35, и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: | 7x | = 35, а следовательно, к двум случаям: 1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7x = 35, тогда x = – 5 . Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения. Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся с понятием арифметического корня (см. параграф “Арифметический корень”). |
Линейные уравнения с одним неизвестным
Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:
ax + b = 0,
где a и b – известные числа, а x – неизвестная величина.
Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного x , при котором это уравнение обращается в тождество.
Если a не равно нулю ( a ≠ 0 ), то решение (корень) уравнения имеет вид:
Если a = 0, то возможны два случая:
1. b = 0, тогда 0 · x + 0 = 0. Здесь x может быть любым числом ( проверьте ! ).
2. b ≠ 0, тогда 0 · x + b = 0. Здесь нет решений ( проверьте и это!).
лежащие выражения: x² + 2x = x² – 2x + x – 2 . Перенесём
все члены в левую часть уравнения. После приведения
подобных членов получим: 3x + 2 = 0, откуда x = – 2 / 3 .
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Основные методы решения: подстановка, сложение или вычитание.
Определители второго порядка. Правило Крамера.
Исследование решений системы уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.
Метод подстановки.
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = ( c – by ) / a . (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x :
d ( c – by ) / a + ey = f .
3) Решая последнее уравнение, находим y :
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2) :
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y :
x = ( 2y + 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y :
( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 , откуда y = 1 .
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в
выражение для х: x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x = 2 .
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ).
П р и м е р . Решить систему уравнений:
методом сложения или вычитания.
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение
(а в первое можно?): 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,
(3)
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .
Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:
, который будет обозначать выражение: ps – qr .Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s :
и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,
Выражение
называется определителем второго порядка.Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р . Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е . Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = –3, f = 14 .
