Лекции по Математике 2 (стр. 6 из 10)
Арифметический корень тесно связан с понятием абсолютной величины ( модуля ) числа, а именно:
Более подробно действия с корнями см. в разделе «Степени и корни».
Иррациональные числа. Формула сложного радикала
Рациональные числа. Иррациональные числа.
Примеры иррациональных чисел.
Формула сложного радикала.
Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где m и n – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например:
- отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно
,- отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу
Примеры других иррациональных чисел:
Докажем, что
является иррациональным числом. Предположим противное: - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать: = m / n , отсюда: 2 = m2 / n2, или m2 = 2 n2, то есть m2 делится на 2, следовательно, m делится на 2, откуда m = 2 k, тогда m2 = 4 k2 или 4 k2 = 2 n2, то есть n2 = 2 k2, то есть n2 делится на 2, а значит, n делится на 2, следовательно, m и n имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа (см. выше). Таким образом, доказано, что является иррациональным числом.При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:
(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение.
Приведенное квадратное уравнение.
Неприведенное квадратное уравнение.
Неполное квадратное уравнение.
Квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени:
ax 2 + bx + c = 0 , (1)
где a, b, c – заданные числовые или буквенные коэффициенты, x – неизвестное. Если a = 0, то уравнение становится линейным. Поэтому мы будем рассматривать здесь только a ≠ 0. Тогда можно разделить все члены этого уравнения на а, в результате чего мы получим:
x 2 + px + q = 0 , (2)
где p = b / a, q = c / a. Это квадратное уравнение называется приведенным.
Уравнение (1) называется неприведенным. Если b или c (или оба) равны нулю, то это уравнение называется неполным. Примеры неполных квадратных уравнений:
4x 2 – 12 = 0, x 2 + 5x = 0, x 2 = 36 .
Мнимые и комплексные числа
Мнимые числа. Мнимая единица. Действительные
или вещественные числа. Комплексные числа.
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
x 2 = a ,
где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:
Здесь возможны три случая:
| 1). | Если a = 0 , то x = 0. |
| 2). | Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:  |
| 3). | Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное ( продумайте это! ). Но если мы хотим получить решения уравнения x 2 = a также и для отрицательных значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа. Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным. Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу: |
Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:
Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. (Проверьте !). В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:
a + b i ,
где a, b – действительные числа, i – мнимая единица.
Более подробно о комплексных числах см. раздел «Комплексные числа».
П р и м е р ы комплексных чисел: 3 + 4 i , 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 +
i.Решение квадратного уравнения
Решение неприведенного квадратного уравнения.
Решение приведенного квадратного уравнения.
В общем случае для неприведенного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0 ,его корни находятся по формуле:  Если разделить все члены неприведенного квадратного уравнения на a ( это возможно? ), и обозначить b / a = p и c / a = q , то мы получим приведенное квадратное уравнение:x 2 + px + q = 0 ,корни которого вычисляются по формуле:  П р и м е р . x 2 + 5x + 6 = 0 . Здесь p = 5, q = 6. Тогда имеем:  отсюда, x1= – 5 / 2 + 1 / 2 = – 2 , x2 = – 5 / 2 –1 / 2– 3 |
Свойства корней квадратного уравнения. Теорема Виета
Свойства корней квадратного уравнения.
Дискриминант. Теорема Виета.
Формула корней неприведенного квадратного уравнения:
 показывает, что возможны три случая: 1) b 2 – 4 a c > 0 , тогда имеются два различных корня; 2) b 2 – 4 a c = 0 , тогда имеются два равных корня; 3) b 2 – 4 a c < 0 , тогда имеются два комплексных корня.Выражение b 2 – 4 a c, от значения которого зависит, какой случай имеет место, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px+ q = 0 равна коэффициенту при первой степени неизвестного, взятому с обратным знаком: x1 + x2 = – p ,а произведение равно свободному члену:x1 · x2 = q .Для доказательства теоремы Виета достаточно воспользоваться формулой корней приведенного квадратного уравнения. |
Разложение на множители квадратного трёхчлена
Каждый квадратный трехчлен ax 2 + bx+ c может быть разложен на множители первой степени следующим образом.
Решим квадратное уравнение:
ax 2 + bx+ c = 0 .
Если x1 и x2 - корни этого уравнения, то
ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) .
Это можно доказать, используя либо формулы корней неприведенного квадратного уравнения, либо теорему Виета.
( Проверьте это, пожалуйста! ) .
П р и м е р . Разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.
Р е ш е н и е . Во-первых, решим уравнение: 2x 2 – 4x – 6 = 0. Его корни:
x1 = –1 и x2 = 3. Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) .
( Раскройте скобки и проверьте, пожалуйста, результат! ).
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней, приводимые к квадратному.
Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение.
| 1. | Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения на множители, каждый из которых является многочленом не выше второйстепени. Тогда, приравнивая каждый из них к нулю и решая все эти квадратные и / или линейные уравнения, мы получим все корни исходного уравнения.П р и м е р . Решить уравнение: 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 . Р е ш е н и е . Разложим левую часть этого уравнения на множители: x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 ) . Решим уравнение: x 2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 . Теперь решим уравнение: 3x 2 + 6x – 9 = 0, и получим: x3 = 1 и x4 = – 3 . Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: x1 = x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = – 3 . |
| 2. | Если уравнение имеет вид: ax2n + bxn + c = 0 ,оно приводится к квадратному уравнению заменой: xn = z ;действительно, после этой замены получаем: az 2+ bz + c = 0 . П р и м е р . Рассмотрим уравнение: x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 . После замены: x 2 = z получим уравнение: z 2 – 13 z + 36 = 0 . Его корни: z1 = 4 и z2 = 9. Теперь решаем уравнения: x 2 = 4 и x 2 = 9 . Они имеют соответственно корни: x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 ; x4 = – 3 . Эти числа являются корнями исходного уравнения ( проверьте, пожалуйста! ).Любое уравнение вида: ax 4 + bx 2 + c = 0 называется биквадратным. Оно приводится к квадратному уравнению заменой: x2 = z . П р и м е р . Решить биквадратное уравнение: 3x 4 – 123x 2 + 1200 = 0 . Р е ш е н и е . Заменяя: x 2 = z , и решая уравнение: 3z 2 – 123z + 1200 = 0, получаем:  отсюда, z1 = 25 и z2 = 16. Используя нашу замену, получим: x 2 = 25 и x 2 = 16, отсюда, x1 = 5, x2 = – 5, x3 = 4, x4 = – 4. |
| 3. | Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:ax3 + bx2 + cx + d = 0 . |