Лекции по Математике 2 (стр. 7 из 10)

Вектор. Нулевой вектор. Длина (модуль) вектора.

Коллинеарные векторы. Компланарные векторы.

Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.

Законы сложения. Законы умножения вектора на число.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Единичные ортогональные векторы.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку. Например, вектор, направленный из точки A к точке B, можно обозначить a,

__ Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0. Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a |. В частности, | 0 | = 0. Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b. Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что __ __ a = AB and b = CD , тогда вектор __ __ a + b = AB + CDесть результат выполнения двух операций:a) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;б) геометрического сложения, т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + ( – b ) .Законы сложения. I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ). II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ). III. a + 0 = a . IV. a + (– a ) = 0 .Законы умножения вектора на число. I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , ( –1 ) · a = – a . II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | . III. m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон умножения на число ). IV. ( m + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ). Скалярное произведение векторов. __ __ Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю: ( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов: - положительно, если угол между векторами острый ; - отрицательно, если угол между векторами тупой .Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:I. ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )II. ( m a , b ) = m ( a , b ) .III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ). ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон ) Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i – с осью Х, j – с осью Y и k – с осью Z. В соответствии с этим определением:( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0, | i | = | j | = | k | = 1.Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = ( x, y, z ). Здесь x, y, z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе. Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw.Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;a – b = ( x – u , y – v , z – w ) .Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b] векторов a и b ( в указанном порядке ) называется вектор:

/\ | [ a, b ] | = | a | | b | sin ( a, b ) , т.e. длина ( модуль ) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина ( модуль ) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .Свойства векторного произведения. I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b. ( Докажите это, пожалуйста ! ) . II. [ a , b ] = – [ b , a ] . III. [ m a , b ] = m [ a , b ] . IV. [ a + b , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] . V. [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) . VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – a ( b , c ) .Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = ( x, y, z ) и b = ( u, v, w ) :

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = ( x, y, z ), b = ( u, v, w ) и c = ( p, q, r ) :

Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол между этими векторами.Р е ш е н и е . Используя соответствующие формулы (см. выше), получим: a). скалярное произведение: ( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ; б). векторное произведение:

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 ( здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р . ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2. Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р . Найти ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i

и выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.