Лекции по Математике 2 (стр. 9 из 10)

В интервале I ( x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно, их произведение положительно; в интервале II ( 3 < x < 7 ) первый множитель ( x – 3 ) положителен, а второй ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно; в интервале III ( x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство. Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.

П р и м е р . Решить следующее неравенство методом интервалов:

( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) … ( x –100 ) > 0 .

Р е ш е н и е . Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.

Они разбивают числовую ось на 101 интервал:

Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то

при x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

положительно. При переходе через корень происходит смена

знака произведения. Поэтому следующим интервалом, внутри

которого произведение положительно, будет ( 2, 3 ), затем ( 4, 5 ),

затем ( 6, 7 ), … , ( 98, 99 ) и наконец, x >100.

Таким образом, данное неравенство имеет решение:

x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.

Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.

Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет.

П р и м е р 1. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Решение первого неравенства: x < 4 ; а второго: x > 6.

Таким образом, эта система неравенств не имеет решения.

( Почему ? )

П р и м е р 2. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е. Первое неравенство, как и прежде, даёт: x < 4; но решение

второго неравенства в данном примере: x > 1.

Таким образом, решение системы неравенств: 1 < x < 4.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n – 1, n , … .

Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел:

u1 , u2 , u3 , …, u n  1 , u n , … ,

называемый числовой последовательностью. Число un называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10, … , 2n, … ;

1, 4, 9, 16, 25, … , n² , … ;

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … , 1/n , … .

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

an = a1 + d ( n – 1 ) .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

П р и м е р . Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь a1 = 1, d = 2 . Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn = b1 q n  1 .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: это число, к

которому неограниченно приближается сумма n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р . Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь b1 = 1, q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом, 0.(3) = 1/3.

Логарифмы

Логарифм. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов. Десятичный логарифм. Натуральный логарифм.

Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b

1)называется показатель степени x , в которую нужно возвести b, чтобы получить N . Обозначение логарифма:

Эта запись равнозначна следующей: bx = N .П р и м е р ы : log 81 = 4 , так как 34 = 81 ; 3 log 27 = – 3 , так как ( 1/3 ) 3 = 33 = 27 . 1/3 Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

Основные свойства логарифмов. 1) log b = 1 , так как b 1 = b . b 2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 . b3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:log ( ab ) = log a + log b .4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:log ( a / b ) = log a – log b .5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания: log ( b k ) = k · log b .Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

7) Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

В частном случае при N = a имеем:

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительныхединиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n ( см. так называемый второй замечательный предел в разделе "Пределы" ). Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Комбинаторика. Бином Ньютона

Перестановки. Факториал. Размещения. Сочетания.

Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты.

Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов.

Общим термином «соединения» мы будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например, буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т.д.).