Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка (стр. 2 из 2)
Теорема 1. Все решения уравнения
являются одновременно решениями уравнения (4).В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из
найти 
, 
и вместе с 
подставить в уравнение (4).Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения
. Лемма. Уравнение можно записать в виде системы 
(6)Справедливость этого утверждения устанавливается исключением
из системы (6).Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения
при 
, которое определяется общим решением уравнения 
(7)Действительно, если в (6) положить
, 
, то мы получаем уравнение (7).Для интегрирования уравнения (7) введём функцию
. Тогда 
и система (6) перепишется в виде 
(8)а уравнение (7) - в виде
. (9)Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве
заменой 
, 
, где 
, 
. Таким образом, справедлива [5]Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати
, где q- произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения .Известно также [5], что уравнение
имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда 
. Они легко получаются из тривиального решения 
при 
с помощью формул (1), (2). В частности, при 
имеем решение 
, а при 
решение 
.Характерной особенностью уравнения
является то, что оно является частным случаем уравнения 
, 
где
, 
, 
,получающегося из высшей иерархии
Кортевега де Фриза 
, (10)где
, 
, 
при помощи редукции
, 
.При
уравнения и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием 
, 
.Для
в получаем уравнение . Ещё одной важной особенностью уравнения является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5).Подробное описание различных свойств решений уравнения
в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8].Заключение
Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё четырёхпараметрического семейства решений, порождаемого общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой.
В процессе исследований использовался пакет символьных вычислений МАТЕМАТИКА.
Список использованных источников
1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир. 1987. - 479 с.
2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир. 1989. - 328 с.
3. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. - М.: Мир. 1985. - 472 с.
4. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: 1982. - 255 с.
5. Gromak V.I. Backlund transformations of Painleve’ equations and their applications // The Painleve’ property, one century later. CRM series in Mathematical Physics /. Ed. R. Conte. - New York: Springer-Verlag, 1999. - P.687-734.
6. Airault H. Rational solutions of Painleve’ equations // Stud. Appl. Math. - 1979. - Vol.61. - P.31-53.
7. Громак В.И., Голубева Л.Л. Обобщённое второе управление Пенлеве четвертого порядка // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз. - мат. Навук. - 2004 (в печати).
8. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. - М. 2002. - 304 с.