Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона (стр. 2 из 2)

Для определенности положим

и . Выберем начальное приближение , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . За первое приближение берем точку пересечения касательной с осью . На кривой определим точку и проведем касательную к кривой в этой точке. Найдем следующее приближение и так далее (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Составим уравнение касательной в точке

:

.

Полагая

, из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:

.

Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка

, то следующее приближение .

Рассмотрим метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения

.

Теорема. Если

и производные не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Доказательство.

Пусть для определенности

при (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Из неравенства

следует, что , т.е. .

Докажем, что все приближения

расположены правее , т.е. , а значит .

Доказательство проведем методом индукции:

а)

;

б) предположим, что

;

в) докажем, что

.

Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде

.

Применяя формулу Тейлора, получим:

(2.3)

где

.

Так как по условию теоремы

, то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,

.

Отсюда, в силу того, что

, получим:

.

Таким образом доказали, что все последовательные приближения

, т.е. находятся правее , и, следовательно .

Из соотношения (2.2), учитывая знаки

и , следует, что , т.е. последовательные приближения образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим . Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:

,

т.е.

. Отсюда следует, что , т.е. . А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.

Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения

выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и , т.е. выполняется достаточное условие сходимости

. (2.4)

Следует заметить, что чем больше числовое значение

в окрестности корня , тем меньше правка . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня график функции имеет большую крутизну (т.е. , тогда ). Если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальна (т.е. , тогда ), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать

. Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:

для всех . (2.5)

Если выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения

.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Достоинства метода Ньютона:

1) обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;

2) достаточно простое получение итерационной формулы.

Недостатки метода Ньютона:

1) сходится не при любом выборе начального приближения;

2) применим только в тех случаях, когда производная функции на всей области определения не равна нулю.

В некоторых случаях для решения систем нелинейных уравнений целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.

2. Красильников В.В. Математичемкие методы в экономике. Набережные Челны, 1999, 475 с.

3. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 148 с.