Применение экономико-математического моделирования в прогнозировании издержек (стр. 7 из 9)

S²_факт – S² _рас

R² = --------------------------------

S²_факт

S² _рас – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины, рассчитанной по уравнению регрессии;

S²_факт – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины из экспериментальных наблюдений.

Коэффициент детерминации представляет собой отношение квадратов отклонений. Часто он выражается в процентах и интерпретируется, как количество точек, охваченных построенным уравнением регрессии.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции – r.

____

r = √ R²

Таким образом уравнение связи и коэффициент корреляции являются двумя важнейшими характеристиками корреляционной зависимости изучаемыми показателями. Уравнение в конкретной количественной форме показывает, какая существует зависимость между переменными, а коэффициент корреляции позволяет судить о силе этой зависимости, о тесноте изучаемой связи. Для коэффициента парной корреляции r возможно три крайних случая: r ≈ 1, r ≈ -1, r ≈ 0. По абсолютной величине он не превышает единицы. Когда r близок к единице, то можно говорить о положительной, прямой взаимосвязи между переменными, если r близок к -1, то имеется обратная зависимость. Близкая к нулю говорит об отсутствии статистической зависимости между показателями.

3. Практическая часть

3.1. Построение модели затрат на производство продукции

В ходе данной работы необходимо построить модель величины затрат на производство продукции АО «Автоагрегат» на участке металлопокрытий. Исходными данными является величина издержек производства за последние 2 года 2006-2007 г.г.(см. таблицу.№1)

Необходимо рассчитать предполагаемые затраты на период с января по июнь 2008 года. Расчет производится методом корреляционного анализа с использованием программы Excel.

Затраты на производство АО "Автоагрегат (2006-2007 гг.)
Год, месяц	Затраты, тыс. руб.
2006 1	1205,2
2	1313,8
3	1281,5
4	1393,2
5	1305,7
6	1188,5
7	896,1
8	1025,4
9	1049,7
10	1310,1
11	1470,4
12	1468,2
2007 1	1365,9
2	1106,8
3	1245,7
4	1351,2
5	1324,1
6	1235,0
7	1378,4
8	1365,3
9	1209,4
10	1113,2
11	1263,8
12	1355,2

Таблица№1. Исходные данные.

Выберем функцию для построения уравнения регрессии. В качестве приближающей функции может быть выбрана одна из следующих:

-Линейная

;

-Степенная

;

-Показательная

;

-Многочлен

.

Для этого рассмотрим каждую из функций.

Линейная функция: в таблице №2 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b.

Введем условные обозначения: x – месяц, y – затраты.

Основываясь на методе наименьших квадратов, суть которого в том, что необходимо подобрать такую приближающую функцию, при которой сумма квадратов отклонений точного и расчетного значений будет минимальной, расчет значения коэффициентов исходного уравнения будем проводить по формулам:

;

.

Для этого рассчитаем вспомогательные показатели: x², xy, также рассчитаем среднеарифметическое значение показателей x, y, x², xy.

Для того чтобы сделать вывод о выборе подходящей приближающей функции, рассчитаем коэффициенты корреляции и детерминации.

- коэффициент детерминации

- дисперсия вычисленная с учетом фактических значений;

- дисперсия, вычисленная с использованием рассчитанных значений,

Где y_i – i-значение результата (фактическое);

y_ir – i-значение результата (расчетное).

- коэффициент корреляции.

Для этого рассчитываем вспомогательные значения (y-y_r)² (y-y_s)².

Оба рассчитанных показателя удовлетворяют условию, что эти коэффициенты должны стремиться к 1. Однако делать вывод о том, является ли линейная функция приближающей рано, так как не рассчитаны значения коэффициентов для других функций.

Таблица №2

Предполагаемая приближающая функция: y=a + x*b
№	x	y	x^2	xy	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205,2	1	1205,19	1226,98	474,81	2921,54
2	2	1313,8	4	2627,6	1229,79	7058,45	2976,66
3	3	1281,5	9	3844,5	1232,59	2392,12	495,45
4	4	1393,2	16	5572,8	1235,40	24902,09	17944,95
5	5	1305,7	25	6528,5	1238,20	4556,07	2158,42
6	6	1188,5	36	7131	1241,01	2756,95	5004,32
7	7	896,1	49	6272,7	1243,81	120903,64	131871,57
8	8	1025,4	64	8203,2	1246,62	48937,10	54681,73
9	9	1049,7	81	9447,3	1249,42	39889,13	43907,54
10	10	1310,1	100	13101	1252,23	3349,17	2586,61
11	11	1470,4	121	16174,4	1255,03	46382,83	44588,02
12	12	1468,2	144	17618,4	1257,84	44251,92	43663,76
13	13	1365,9	169	17756,7	1260,64	11078,84	11376,09
14	14	1106,8	196	15495,2	1263,45	24538,98	23238,33
15	15	1245,7	225	18685,5	1266,25	422,49	183,37
16	16	1351,2	256	21619,2	1269,06	6747,00	8456,41
17	17	1324,1	289	22509,7	1271,87	2728,48	4206,66
18	18	1235,0	324	22230	1274,67	1573,75	587,64
19	19	1378,4	361	26189,6	1277,48	10185,69	14198,81
20	20	1365,3	400	27306	1280,28	7228,21	11248,46
21	21	1209,4	441	25397,4	1283,09	5429,69	2484,15
22	22	1113,2	484	24490,4	1285,89	29822,45	21328,05
23	23	1263,8	529	29067,4	1288,70	619,86	20,78
24	24	1355,2	576	32524,8	1291,50	4057,38	9208,08
Сумма	300	30222	4900	380998	30221,79	450287,10	459337,38
Ср.ариф.	12,50	1259,24	204,17	15874,94	1259,24	18761,96	19139,06
b	2,81	R2	0,019702896
a	1224,174783	r	0,140367004

Степенная функция: в таблице №3 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b,А.

Расчет ведется по формулам:

Заглавные буквы означают логарифмированные данные. Кроме того, в таблице рассчитываются вспомогательные показатели

X, Y, X², XY, y_r, (y-y_r)², (y-y_s)².

Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

Таблица №3

Предполагаемая функция: y=a * x^b
№	x	y	X	Y	X^2	XY	yr	(y-yr)^2	(y-ys)^2
1	1	1205	0,00	7,09	0,00	0,00	1211,10	34,89	2921,54
2	2	1314	0,69	7,18	0,48	4,98	1223,09	8227,71	2976,66
3	3	1282	1,10	7,16	1,21	7,86	1230,17	2635,19	495,45
4	4	1393	1,39	7,24	1,92	10,04	1235,21	24961,19	17944,95
5	5	1306	1,61	7,17	2,59	11,55	1239,13	4430,94	2158,42
6	6	1189	1,79	7,08	3,21	12,69	1242,35	2900,00	5004,32
7	7	896	1,95	6,80	3,79	13,23	1245,08	121785,64	131871,57
8	8	1025	2,08	6,93	4,32	14,42	1247,44	49303,77	54681,73
9	9	1050	2,20	6,96	4,83	15,28	1249,54	39934,30	43907,54
10	10	1310	2,30	7,18	5,30	16,53	1251,41	3444,60	2586,61
11	11	1470	2,40	7,29	5,75	17,49	1253,11	47216,46	44588,02
12	12	1468	2,48	7,29	6,17	18,12	1254,66	45600,18	43663,76
13	13	1366	2,56	7,22	6,58	18,52	1256,09	12058,91	11376,09
14	14	1107	2,64	7,01	6,96	18,50	1257,41	22683,79	23238,33
15	15	1246	2,71	7,13	7,33	19,30	1258,65	167,59	183,37
16	16	1351	2,77	7,21	7,69	19,99	1259,80	8353,71	8456,41
17	17	1324	2,83	7,19	8,03	20,37	1260,89	3995,77	4206,66
18	18	1235	2,89	7,12	8,35	20,58	1261,91	724,32	587,64
19	19	1378	2,94	7,23	8,67	21,28	1262,88	13343,98	14198,81
20	20	1365	3,00	7,22	8,97	21,63	1263,81	10301,16	11248,46
21	21	1209	3,04	7,10	9,27	21,61	1264,68	3056,16	2484,15
22	22	1113	3,09	7,01	9,55	21,68	1265,52	23201,21	21328,05
23	23	1264	3,14	7,14	9,83	22,39	1266,32	6,35	20,78
24	24	1355	3,18	7,21	10,10	22,92	1267,09	7764,02	9208,08
Сумма	300	30222	55	171	141	391	30027,33	456131,83	459337,38
Ср.ариф.	12,50	1259,24	2,28	7,13	5,87	16,29	1251,14	19005,49	19139,06
b	0,0142	R2	0,0070
A	7,0993	a	1211,0965	r	0,0835

Показательная функция: в таблице №4 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b,А, B.