Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса (стр. 2 из 2)
, (где 
). (11)Очевидно, что условия минимума дискретной функции невязки Гаусса
- имеют вид: 
, 
(12)Эти условия для (11) преобразуются к виду:
, 
(13)Раскрывая систему (13) получаем систему уравнений для определения коэффициентов разложения
в виде: 
(14)Нетрудно увидеть, что вводя скалярные произведения в соответствующем функциональном пространстве в виде:
(15)систему (14) можно переписать в нормальном виде Гаусса:
(16)Ясно, что эта система имеет единственное решение, т.к. определитель системы (16) совпадает с определителем
Грама для базисных функций
- которая отлична от нуля вследствие линейной независимости базисных функций.Найдя
из системы (16) и подставляя в (9) мы получаем функцию:
(17)которая является приближением к функции
в смысле минимума квадратичного отклонения Гаусса (10) по норме индуцированной скалярным произведением (15), действительно: 
(18)а дискретная норма Гаусса невязки имеет вид:
(19)2.2 Интегральное приближение функции заданной аналитически
В предыдущем параграфе мы рассматривали приближение функции
методом наименьших квадратов, предполагая, что значения функции заданы таблично, поэтому мы пользовались дискретной нормой Гаусса 
.Рассмотрим теперь случай, когда аналитически заданную, на интервале
, функцию 
- надо аппроксимировать обобщённым многочленом: 
(20)так, чтобы минимизировалась интегральная норма невязки Гаусса
: 
(21)иначе говоря, нам нужно минимизировать интеграл
(22)Для решения этой задачи подставим (20) в (22), тогда функционал (22) превратится в функцию многих переменных, т.е.
. Условия же минимума функции многих переменных имеют вид: 
, (23)Эти условия приобретают вид:
(24)т.е.
(25)Определитель этой системы представляет собой определитель Грама для функций
, в 
, поэтому система (25) имеет единственное решение . Подставляя эти значения в разложение (20) имеем приближение для . Характер приближения оценивается соответствующей нормой невязки .Задача аппроксимации функции заданной аналитически часто применяется для вычисления интегралов.
2.3 Числовые примеры на применение метода наименьших квадратов Гаусса для приближения функций заданных таблично или аналитически
а) Рассмотрим пример в случае табличного задания функции
:Пример 1: пусть функция
задана таблично:  | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
| | 0.31 | 0.82 | 1.29 | 1.85 | 2.51 | 3.02 |
с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировать эту функцию в классе линейных функций. Т.е. допускаем, что
. Для нахождения коэффициентов 
, составляем невязку по дискретной норме Гаусса: 
(26)Необходимые условия минимума для
имеют вид:
(27)Из (27) – получаем нормальные уравнения Гаусса:
(28)Решение имеет вид:
(29)т.е.
(30)б) Теперь, рассмотрим пример в случае приближения сложных аналитически заданных
функций, боллее простыми 
функциями.Пример 2: Функцию
, заданную на интервале 
аппроксимировать линейной функцией 
, определив параметры 
и 
по методу Гаусса (используем интегральную норму невязки Гаусса).Решение: интегральная норма невязки для данной функции имеет вид:
(31)Необходимые условия минимума для
- имеют вид: 
(32)т.е.
(33) 
(34)Из уравнений (33) и (34) находим
(35)аппроксимирующий многочлен имеет вид:
(36)или
(37)Для более глубокого изучения теории приближения, необходимо знание численных методов вычисления интегралов и методов решения систем уравнения, поэтому на следующей лекции мы временно прервем изложение теории аппроксимации и перейдем на подготовительную работу.
Литература
1). К. Ректорис. Вариационные методы в математической физике и механике. Мир, М.,1995
2). С.Г. Михлин. Численная реализация вариационных методов, М., Наука, 1996
3). Л.А. Кальницкий, Д.А. Добротин, В.Ф. Жевердеев. Специальный курс высшей математики для втузов. М., ”Высшая математика”, 1996
4). Т. Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1982
5). Л. Коллатц. Функциональный анализ и вычислительная математика. Мир, М., 1999
6). Р. Варга. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. Мир, М., 1994
7). Л. Коллатц, Ю. Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998.