Аффинные преобразования на плоскости (стр. 2 из 2)
М1=(x1,y1), М=(x,y). Так как точка М делит отрезок М0М1 в отношении λ, то
; 
(1)При данном аффинном преобразовании точки М0,М1,М перейдут в точки М0′,М1′, М′ с теми же координатами, что и у точек М0,М1,М, но только в координатной системе О'е'1е'2. Эти координаты по-прежнему связаны соотношениями (1), из которых следует, что М′ делит отрезок М0′М1′ в отношении λ. Этим теорема доказана.
3.Аналитическое выражение аффинных преобразований (формулы перехода).
Задача: Как зная параметры одной системы относительно другой можно определить положение точки в обеих системах координат( т.е. как найти формулы переходе от одной системы(старой) к другой новой системе.
Рассмотрим случаи преобразования для аффинных систем координат.
1) Пусть дана система R={О, (е1, е2)} и пусть в ней задана М=(x,y)R, О(0,0)R- координаты начала. е1(1,0)R, е2(0,1)R– координаты базисных векторов.
2) Пусть задана вторая система координат R′={О, (е1′, е2′)}, причем известны параметры, определяющие новый базис и новое начало координат через старую систему координат, т.е. О′(x0,y0)R, е1′(С11,С12)R, е2′(С12,С22)R
Поставим задачу найти координаты точки М в новой системе координат(М(x′,y′)R′). Обозначим неизвестные координаты точки М(x′,y′).
Для трех точек О,О′,М: О′М=О′О +ОМ. О′М – радиус вектор точки М в новой системе координат, значит, его координаты будут совпадать с координатами вектора О′М в системе R′ (О′М↔МR′)=>О′М(x′,y′)R′=> О′М=x′e1′+y′e2′ (1); О′О - радиус вектор точки О′ в системе R′, т.е. его координаты будут совпадать с координатами О′О↔ О′R=> О′О(x0,y0)R=> О′О= x0e1+y0e2 (2); ОМ↔ МR=> ОМ=xe1+ye2 (3). Т.о. вектор О′М=ОМ −ОО′ после подстановки в данное векторное равенство разложения (1),(2) и (3) будет иметь вид:
x′e1′+y′e2′= xe1+ye2−(x0e1+y0e2) (4); т.к. в условии заданы параметры, определяющие координаты новых базисных векторов через старый базис, получим для новых базисных векторов следующие векторные равенства:
е1′(С11,С12)R=> е1′= С11e1+С21e2;
е2′(С12,С22)R=> е2′= С12e1+С22e2; (5)
Подставим (5) в левую часть (4) и сгруппируем относительно базисных векторов е1 и е2.
x′(C11e1+C21e2)+y′(C12e1+C22e2)- xe1-xe2+x0e1-ye2+x0e1+y0e2=0.
(x′C11+ y′C12e1-x+x0)e1+ (x′C21+y′ C22-y+y0)e2=0.
Т.к. (е1,е2) образуют базис, то это линейнонезависимая система, для которой последнее векторное равенство выполняется при условии, что все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. при условии
(6);(6)- формулы перехода от старой системы R к новой системе R′ при переменных x′ и y′.
Т.к столбцы определителя- это координаты базисных векторов е1′ и е2′, то данный определитель никогда не обращается в ноль, т.е. система (6) однозначно разрешима относительно переменных х′ и у′, что всегда позволяет найти формулу обратного перехода от R′ к R.
Для формул (6) существуют два частных случая
1. замена базиса;
2. перенос начала.
1.Система R′, полученная из системы Rпутем замены базиса с сохранением того же начала координат R={О, (е1, е2)}→ R′={О, (е1′, е2′)}, т.е. О′(х0,у0)=О(0,0)=>х0=у0=0,тогда формулы замены базиса примут вид:
(7)2. Пусть система R′ получена из R путем переноса начала из т.О в точку О′ с сохранением того же базиса:
R={О, (е1, е2)}→ R′={О′, (е1, е2)}=> е1′(1,0), е2′(0,1),т.о. формулы примут вид:
(8).Заключение:
Литература: