Уравнение линии на плоскости (стр. 3 из 5)

Если функция в точке

имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная

есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой

в точке примет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени

есть скорость точки в момент времени :

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени

есть производительность труда в момент

Теорема. Если функция

дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции

может быть найдена по следующей схеме

1. Дадим аргументу

приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции

.

3. Составляем отношение

.

4. Находим предел этого отношения при

, то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть

.

2. Производная аргумента равна 1, то есть

.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если

и – дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

.

Эластичностью функции

называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция

при изменении независимой переменной на один процент.

Геометрически это означает что эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями

и .

Основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной

на темп изменения функции , то есть .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

, .

3. Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины:

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке

функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть функция

удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке

;

2) дифференцируема на интервале

;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть

.

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

, в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция

удовлетворяет следующим условиям

1. Непрерывна на отрезке

.

2. Дифференцируема на интервале

;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

, в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида

или , то

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастаетна этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка

, то она убывает на этом промежутке.