Системы счисления 4 (стр. 2 из 3)

88 11 8

7 8 1

3

в) в шестнадцатеричную систему счисления

95 16

80 5

15

При переводе правильных десятичных дробей, необходимо умножить значение этой дроби на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Значение целой части результата первого умножения присваивается старшему разряду дробной части. Затем целая часть не рассматривается и производится следующее умножение дробной части. Процедуру умножения повторяют до тех пор, пока результат умножения не будет равен целому числу и этот результат будет младшим разрядом, либо не будет достигнута требуемая точность.

Примеры перевода правильной десятичной дроби 0.36:

а) в двоичную

_*0.36

2

_*0.72

2

_*1.44

2

_*0.88

2

1.76

0.36₁₀ => 0.0101₂

б) в восьмеричную

_*0.36

8

_*2.88

8

_*7.04

8

_*0.32

8

2.56

0.36₁₀ => 0.2702₈

в) в шестнадцатеричную

_*0.36

16

_*5.76

16

_*12.16

16

_*2.56

16

8.96

0.36₁₀ => 0.5C28₁

Для перевода неправильной десятичной дроби, необходимо перевести отдельно дробную и целую часть, а полученные результаты сложить.

Например, перевести в двоичную систему счисления неправильную десятичную дробь 14.375.

14₁₀=> 1110₂ 0.375₁₀ => 0.011₂ 14.375₁₀ => 1110.011₂

3.2. Перевод в десятичную систему счисления

Для перевода из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления необходимо записать это число в виде суммы:

где Р – основание системы из которой осуществляется перевод; a – число, соответствующее базисной цифре Р-ичной системы счисления; n– число цифр в целой части; m– число цифр в дробной части.

Например, перевести число 110.101 из двоичной системы счисления в десятичную:

110.101₂ = 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 = 6.625₁₀

Для удобства расчета в табл. 1 приведены значения степеней позиционных систем счисления.

Таблица 1.

Значения степеней позиционных систем счисления

СтепеньОснование	4	3	2	1	-1	-2	-3
2	16	8	4	2	0.5	0.25	0.125
8	4096	512	64	8	0.125	0.0156	0.002
16	65536	4096	256	16	0.0625	0.004	0.0002

3.3. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления (q) являются степенью основания двоичной системы (p) : q = p^k, где k – целое число, равное 3 для восьмеричной системы счисления и 4 для шестнадцатеричной. Поэтому перевод из двоичной системы осуществляется разбиением двоичного числа на группы по три цифры в каждой для восьмеричной и по четыре для шестнадцатеричной. Отчет ведется от точки разделяющей целую часть от дробной в обе стороны. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой из соответствующих систем счисления (см. табл. 2 и 3). Недостающие биты двоичного числа дополняются нулями: впереди – для целой части и в конце – для дробной части. Например, необходимо перевести двоичное число 1010001110.00111 в восьмеричное и шестнадцатеричное число:

а) в восьмеричное

1010001100.00111₂ = 001 010 001 100.001 110₂ = 1214.16₈

б) в шестнадцатеричное

1010001100.00111₂ = 0010 1000 1100.0011 1000₂ = 28С.38₁₆

Таблица 2. Таблица 3.

Двоичные – восьмеричные Двоичные – шестнадцатеричные

000 – 0 001 – 1 010 – 2 011 – 3100 – 4 101 – 5 110 – 6 111 - 7

0000 – 0 0001 – 1 0010 – 2 0011 – 30100 – 4 0101 – 5 0110 – 6 0111 – 71000 – 8 1001 – 9 1010 – А 1011 – В1100 – С 1101 – D 1110 – E 1111 - F

3.4. Перевод в двоичную систему счисления

из восьмеричной и шестнадцатеричной

Для перевода в двоичную систему из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления необходимо каждое число заменить двоичным эквивалентом (см. табл.2 и 3). Например: 34.5₈ = 011 100.101₂ ; A3.E₁₆ = 1010 0011.1110₂.

3.5. Перевод из восьмеричной системы в шестнадцатеричную

Для перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 4 бита и заменить соответствующим числом из шестнадцатеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: 345₈ = 011 100 101₂ = 011100101₂ = Е5₁₆

3.6. Перевод из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

Для перевода шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную необходимо представить это число в виде двоичного числа. Затем объединить в группы по 3 бита и заменить соответствующим числом из восьмеричной системы счисления (см. табл.2 и 3). Например: В5₁₆ = 1011 0101₂ = 010 110 101₂ = 265₈

4. Арифметические действия в позиционных системах счисления

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются с использованием таблиц сложения и умножения подобно тому, как это делается в десятичной системе счисления.

Таблицы 4 и 5 предназначены для выполнения сложения и умножения в двоичной системе счисления, таблицы 6 и 7 – в восьмеричной системе счисления, а таблицы 8 и 9 – в шестнадцатеричной системе счисления. Ниже приведены примеры сложения и умножения в различных системах счисления.

а) сложение и умножение в двоичной системе счисления

₊ 1100111.011

10011.111

1111011.010

_* 11001

11

₊ 11001

11001

1001011

б) сложение и умножение в восьмеричной системе счисления

₊ 327.71102

35.67735

365.61037

_* 732.6

6.3

₊ 262.02

5440.4

5722.42

в) сложение и умножение в шестнадцатеричной системе счисления

₊ 1А.787

9С.271

В6.9F8

_*10F.A2

0.F1

10F A2

A9C5 4

AA.D4 E2

Этими же таблицами можно пользоваться при решении примеров на вычитание и деление.