Положительные и ограниченные полукольца 2 (стр. 2 из 4)

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} – нулевой идеал;

2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце

;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a:

Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».

2.1. Определение, примеры и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а

S элемент а+1 обратим в S, т.е.

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. полукольца непрерывных R⁺ - значных функций;

3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого

выполняется
. Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1. ограниченные дистрибутивные решетки;

2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в Sи любых a и b

(a+b

M)
(a
M & b
M).

Доказательство:

2. Пусть

для произвольных

и максимального правого идеала M. Предположим, что

, тогда

для некоторых

. Имеем:

В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S(т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть

. Поскольку Sположительно, то для x+1 найдется некоторый

, такой что

. Тогда

,т.к.

. Получили y=1 и значит

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть

, тогда

,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку

выполняется для

, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на xи получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента

и любого обратимого элемента
элемент
обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент

- обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

– обратимы, тогда их произведение также обратимо

, значит

обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S – дистрибутивная решетка.

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует

, тогда:

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

1. a+1=1;

Доказательство.

. Докажем методом математической индукции по числу n.

I. База. к=1.

(выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<nусловие выполняется, т.е.

Рассмотрим для k=n

и a+1=1

Из Iи IIСледует

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц

. Зафиксируем элемент

, где

. Для n=2