Положительные и ограниченные полукольца 2 (стр. 1 из 4)
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Положительные и ограниченные полукольца
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Ворожцов Вячеслав Андреевич _____
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец ............................................. 4
1.1. Определение полукольца. Примеры.................................................. 4
1.2. Дистрибутивные решетки.................................................................... 5
1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6
Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца.................................. 7
2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец..... 7
Библиографический список........................................................................... 16
Введение
Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теории полуколец».
1.1. Определение полукольца. Примеры.
Определение полукольца: Непустое множество Sс бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
· Ассоциативность:
;· Коммутативность:
;· Существование нейтрального элемента:
.2. (S,·) – полугруппа:
· Ассоциативность:
;3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
· левая дистрибутивность:
а(в+с)=ав+ас;· правая дистрибутивность:
(а+в)с=ас+вс.4. Мультипликативное свойство0:
·
.Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо Sназывается коммутативным, если операция
в нем коммутативна: 
.Полукольцо Sназывается полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):
Примеры полуколец:
1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
4. Множество матриц
с элементами из полукольца Nи операциями + и ;5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум
и минимум 
двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.Полукольцо с импликацией
называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.Полукольцо, в котором выполняется равенство
, называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.1.2. Дистрибутивные решетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем наLотношение
положив, 
.Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество Lназовем частично упорядоченным множеством.
Отношение
на множестве L является отношением порядка.Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L. Нижней гранью множества Mназывается такой элемент
, что 
для любого 
. Нижняя граньm множества Mназывается точной нижней гранью, если 
, где n– произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю
и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы: 
Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система Lс двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
, 
;Решетка называется дистрибутивной, если для любых
, ограниченной, если она имеет 0 и 1.1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество Iполукольца Sназывается левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, b 
I, s Sэлементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца Sназывается собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным(главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Saи aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так 
.
Собственный идеал Mполукольца Sназывается максимальным (максимальным правым) идеалом, если
влечет M=Aили A=Sдля каждого идеала A .