О категории множеств (стр. 4 из 5)

Определение: копроизведением в категории Ω двух объектов a и b называется Ω-объект, обозначаемый через a+b, вместе с парой (i_a:a®a+b, i_b:b®a+b) -стрелок, такой, что для произвольной пары (f:a®c, g:b®c) –стрелок существует одна и только одна стрелка [f,g]:a+b®c, для которой диаграмма коммутативна, т.е. [f,g]°i_a=f, [f,g]°i_b=g. Стрелка [f,g] называется копроизведением стрелок f,g относительно инъекций i_a и i_b.

Можно посмотреть длинный список категорных вариантов математических конструкций и понятий. Мы уже имеем некоторое представление о том, как теория категорий воссоздает мир математических идей и в действительности раздвигает горизонты математического мышления. Мы познакомились немного с категорией множеств.

2 категориЯ множеств

Пусть S-класс всевозможных множеств, рассматриваемых с отображениями одних множеств в другие.

f:A→B обозначается отображение множества А во множество В.

Композицией отображений f:A→B и g:B→C, называется отображение g °f:A→C, вычисляемое по формуле:

g°f(a)=g(f(a)). Эта частичная бинарная операция композиция отображений ассоциативна (там, где определена). Проверяется это так:

даны отображения f:A→B, g:B→C, h:C→D. h°(g°f)=(h°g)°f. Обе части определены. Возьмем

. Преобразуем левую часть: h°(g°f)(а)=h°(g°f(a))=h°(g(f(a)))=h(g(f(a))). Преобразуем правую часть: ((h°g)°f)(а)=(h°g)°f(a)=(h°g)(f(a))=(h°g(f(a)))=h(g(f(a))).левая и правая части равны.Þ h°(g°f)=(h°g)°f.Þкомпозиция ассоциативна.

1_А:А→А, что справедливы равенства:

1) 1_А°g=g

2) h°1_A=h

получили конкретную категорию множеств (категория Set).

В категории множеств объектами являются все множества, а стрелками – все функции между множествами. Выполняются следующие свойства:

1. С каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.

2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, ¦› стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚¦, также принадлежащую данной категории.

3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

2.1. Мономорфизм в категории множеств

· В категории Set (категория множеств) для любого отображения f:A→B эквивалентны условия:

1) f- мономорфизм

2) f-инъекция

3) g°f=1_A для некоторого g:B→A

Доказательство: поведем по циклу 1)→2)→3)→1)

1)→2): предположим, что мономорфизм f не является инъективным отображением, т.е. в А и f(a1)=f(a2)=b.

Возьмем произвольное непустое множество С и два отображения u:C→A, v:C→A, такие, что при отображении v множество С переходит в элемент а1ÎА, а при отображении u множество С переходит в элемент а2ÎА. Заметим, что u¹v. Тогда ,нетрудно видеть, что f°u=b=f°v. но f – мономорфнаÞu=v. Пришли к противоречию, после того, как предположили, что f- не инъективнаÞf – инъективна.

2)→3) Пусть f-инъекция. Для доказательства необходимо найти отображение g:B→A. зададим отображение g правилом:

g(b)=

Тогда, очевидно, что g°f=1_A .

3)→1) в произвольной категории доказано свойство о том, что если заданы отображения f:A→B, g:B→A, то из того, что g°f - мономорфизм следует, что f-мономорфизм. По условию g°f=1_А. Выше также доказано свойство о том, что любая единичная стрелка является монострелкой . Из всего вышесказанного следует, что f – мономорфизм. Теорема доказана полностью.

2.2. Эпиморфизм в категории множеств

· В категории Set (категория множеств) для любого отображения f:A→B эквивалентны условия:

1) f- эпиморфизм, 2) f-сюръекция, 3) f°g=1_B

для некоторого g:B→A

Доказательство:

доказательство поведем по циклу 1)→2)→3)→1)

1)→2) пусть f – эпиморфизм. Предположим, что отображение f не является отображением «на», т.е. не является сюръекцией. (Imf¹B).

Возьмем b1ÎB\Imf.

Пусть С={b1,b2}. Возьмем отображения u:B→C, такое, что любой элемент из В переходит в b2. отображение v:B→C зададим следующим образом:

Заметим, что u и v не совпадают. Тогда u°f=b=v°f. Так как f-эпиморфизм (по условию)Þu=v. Получили противоречие после того, как предположили, что f не является сюрьекцией. Значит, f – сюрьекция.

2)→3) пусть f- сюрьекция.

сюьективность означает, что

его прообраз не пуст. По аксиоме выбора: существует отображение g:B→ . Тогда f °g=1_B. Ч.т.д.

3)→1) в произвольной категории доказано свойство о том, что если заданы отображения f:A→B, g:B→A, то из того, что g°f – эпиморфизм следует, что g-эпиморфизм (док-во см. выше). По условию g°f=1_В. Выше также доказано свойство о том, что любая единичная стрелка является эпистрелкой . Из всего вышесказанного следует, что g – эпиморфизм. Теорема доказана полностью.

Следствие: в категории Set эквивалентны следующие условия: f-бистрелка, f-биекция, f-изоморфизм.

2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств

В категории множеств начальным объектом является пустое множество, так как пустое множество есть подмножество любого множества. Стрелкой можно мыслить пары (элементу одного множества сопоставляется элемент другого). Таким образом, сопоставляя пустому множеству элемент любого множества, получим пустое множество пар, которое является единственным.

Конечными объектами в категории множеств являются одноэлементные множества. Для данного множества А правило f(x)=e определяет функцию f:A→{e}. Так как e является единственным возможным значением, то эта функция является единственной такой функцией. Таким образом, Set имеет много конечных объектов. Все они изоморфны между собой (конечные объекты изоморфны в любой категории). Их представителем является одноэлементное множество {0}.

2.4. Произведение в категории множеств

В теории множеств есть понятие прямого произведения множеств. Это такое множество . Существуют естественные отображения – проекции и , такие, что p_A(a,b)=a , p_B(a,b)=b. Прямое отображение удовлетворяет свойству универсальности: для любых множеств А, В, С и отображений f:C→A и g:C→B существует единственное отображение h: , делающее диаграмму (*) коммутативной.

Легко видеть, что h(c)=(f(c),g(c)). Это свойство универсальности и берется в качестве определения произведения объектов в произвольной категории.

· В категории Set произведение объектов A и В изоморфно их прямому (декартову) произведению как множеств.

Доказательство: с одной стороны мы определили h(c)=(f(c),g(c)). Докажем, что .

Рассмотрим стрелку

. Очевидно, что l°h=1_C, h°l= . Следовательно, .

2.5. Копроизведения в категории множеств

В категории Set копроизведение объектов А и В – это их дизъюнктное объединение А+В, т.е. объединение двух множеств, изоморфных А и В соответственно, но не пересекающихся. Точнее, пусть А’={<a,0>:aÎA}=A´{0} и B’={<b,1>:bÎB}=B´{1}. Положим А+В=A'ÈB’. инъекции i_А:А®А+В, i_В:В®А+В определяются правилами i_A(a)=<a,0>, i_B(b)=<b,1> соответственно.

3 Примеры категорий

3.1. Категория 1

Данная категория состоит из одного объекта и одной стрелки. Этим она определяется полностью. Обозначим её единственный объект через а, а её единственную стрелку – через f. Так как в этой категории только один объект, то domf=codf=a, так как по определению категории с каждой стрелкой связано два объекта –её начало и конец. А в данном случае объект только один. У каждого объекта должна быть единичная стрелка. Но так как стрелка f – единственна, то её и берем в качестве единичной. Единственной парой, для которой нужно определить операцию композиции, является пара <f,f> и мы полагаем, что f°f=f. Это дает закон тождества, так как 1_a°f=f°1_a=f°f=f, и закон ассоциативности, так как f°(f°f)=(f°f)°f=f. Так мы определили категорию, которую можно изобразить так: