3.2. Категория 2

Эта категория имеет два объекта и три стрелки и выглядит так:

в качестве пары объектов возьмем числа 0 и 1, а в качестве стрелок – пары <0,0>, <0,1> и <1,1>. Пусть <0,0>:0®0,

<0,1>:0®1,

<1,1>:1®1.

Тогда <0,0>=1₀ (единичная стрелка на 0) и <1,1>=1₁ (единичная стрелка на 1). При наших требованиях к категориям, композицию на этом множестве можно ввести только одним способом: 1₀°1₀=1₀, <0,1>°1₀=<0,1>, 1₁°<0,1>=<0,1>, 1₁°1₁=1₁. тогда для любых объектов категории выполняется закон тождества и закон ассоциативности.

3.3. Категория 3

Эта категория имеет три объекта и шесть стрелок.

объекты: 0,1,2

стрелки: <0,0>, <0,1>, <1,1>, <1,2>, <2,2>, <2,0>.

Стрелки <0,0>,<1,1>,<2,2> - единичные.

Композицию определяем следующим образом:

1₀°1₀=1₀, 1₁°1₁=1₁, 1₂°1₂=1₂, <0,1>°1₀=<0,1>, 1₁°<0,1>=<0,1>, <1,2>°1₁=<1,2>, 1₂°<1,2>=<1,2>, <2,0>°1₂=<2,0>, 1₀°<2,0>=<2,0>. Тогда выполняется закон тождества и закон ассоциативности.

3.4. Категории предпорядка

Категория, в которой любые два объекта p и q связаны не более чем одной стрелкой p®q, называется категорией предпорядка. Если Р – совокупность объектов категории предпорядка, то на ней определено следующее бинарное отношение R: <p,q>ÎRÛ$ p®q. Отношение R обладает следующими свойствами:

2) рефлексивность (вытекает из того, что для любого объекта категории существует единичная стрелка)

3) транзитивность (вытекает из того, что стрелка p®q дает в композиции со стрелкой q®s стрелку p®s)

Первые три примера являются и примерами категории предпорядка. Но в них отношение предпорядка удовлетворяет еще свойству антисимметричности, а именно если p®q и q®p, то p=q. Антисимметричное отношение предпорядка называют отношением частичного порядка. Простейшим примером категории предпорядка,

но не частичного порядка является двухобъектная категория с четырьмя стрелками: в этой категории существуют стрелки p→q и q→p, но р¹q.

3.5. Дискретные категории

Категория W называется дискретной, если в ней имеются только единичные стрелки, т.е. каждая стрелка является единичной для некоторого объекта. Отождествляя объекты с единичными стрелками, можно заметить, что дискретная категория есть не что иное, как совокупность объектов. Действительно, любое множество X можно превратить в дискретную категорию, добавив единичные стрелки для каждого xÎX.

3.6. Категория N

В этой категории ровно один объект, обозначаемый через N. Также категория имеет бесконечную совокупность стрелок из N в N. По определению этими стрелками являются натуральные числа 0,1,2,3… . Каждая стрелка имеет одно и то же начало и конец, а именно единственный объект N. Композиция двух стрелок (чисел) m и n есть снова число. Положим m°n=m+n. Итак, диаграмма коммутативна по определению. Закон ассоциативности для стрелок вытекает из ассоциативности сложения.

Единичная стрелка 1_N объекта N задается числом 0. Диаграмма коммутативна, так как 0+m=m n+0=n.

Литература

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. – М.: Мир, 1972.

2. Голдблат Р. Топосы. Категорный анализ логики. – М.: Мир, 1983.

3. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983.

4. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. – М.: Наука, 1974.