Если А – множество всех возможных входов функции f, а В – множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: A®B.

Множество А называется областью определения, а множество В – областью значений.

В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).

Выполняются следующие свойства:

1. C каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.

2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, ¦› стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚¦, также принадлежащую данной категории.

3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

Итак, дадим аксиоматическое определение категории.

Категория Ω включает в себя:

1) Совокупность предметов, называемых Ω - объектами

2) Совокупность предметов, называемых Ω-стрелками

3) Операции, ставящие в соответствие каждой Ω-стрелке f Ω-объект dom f (начало стрелки f) и Ω-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: a®b

4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, ¦› Ω-стрелок с dom g=cod f Ω-стрелку g˚¦, композицию f и g, с dom (g˚¦)=dom f и cod(g˚¦)=cod g, причем выполняется следующее условие:

закон ассоциативности:

пусть f: a®b

g: b®c

h: c®d

тогда h ˚(g˚¦)= (h ˚g)˚¦.

Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -

-коммутативна.

( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма – это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)

5) Сопоставление каждому Ω-объекту b Ω-стрелки 1_b: b®b, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:

для любых Ω-стрелок f:a®b и g:b®c 1_b ◦f=f и g◦1_b =g, т.е. коммутативна диаграмма

1.1. Мономорфные стрелки

Определение: Стрелка f:a®b в категории Ω называется мономорфной или монострелкой в Ω, если для любой пары g,h: c®a Ω-стрелок из равенства f °g=f ° h следует g=h.

· В произвольной категории композиция g°f является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.

Доказательство:

Воспользуемся определением монострелки:

Стрелка g°f:a®c является монострелкой, если для любых стрелок l,m:b®a если (g°f)°l=(g°f)°m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (g°f)°l=(g°f)°m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g°(f°l)=g°(f°m).

g – монострелка Þ f °l=f °m

f – монострелка Þl=m, что и требовалось доказать.

· В произвольной категории, если композиция g °f – мономорфна, то и f – мономорфна.

Доказательство: пусть f: a®b

g: b®d,

l, m: c®a

f – мономорфна, если из равенства f °l=f °m (*)следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f °l) = cod(f °m), применим к равенству (*) стрелку g. Получаем g°(f ° l)=g°(f °m). Далее, по ассоциативному закону:

(g°f)°l=(g°f)°m.

g°f – монострелка Þl=m, что и требовалось доказать.

1.2. Эпиморфные стрелки

Определение: Стрелка f:a®b называется эпиморфной или эпистрелкой в категории

Ω, если для произвольной пары стрелок g,h: b®c из равенства g°f=h°f следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.

· Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.

Доказательство: пусть f: a®b

О категории множеств (стр. 1 из 5)