1.
2. Объем и содержание понятия. Определение понятия.
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.
Существенное свойство— свойство, без которого объект не может существовать.
Несущественное свойство— свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.
Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.
Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляет объем понятия.
Например, содержание понятия "квадрат" — это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.
Итак, любое понятие характеризуется:
—термином (название);
—объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);
—содержанием ( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).
Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем "больше" объем понятия, тем "меньше" его содержание, и наоборот. Объем понятия "треугольник" "больше", чем объем понятия "прямоугольный треугольник", так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия "треугольник" "меньше", чем содержание понятия "прямоугольный треугольник", так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ
Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.
Определение понятия — это логическая операция, которая, раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.
Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия "прямоугольный треугольник" позволяет отличить его от других треугольников.
Различают явные и неявные определения.
Явные определения имеютформу равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.
Например: "Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны". Здесь определяемое понятие — "квадрат", а определяющее — " прямоугольник, у которого все стороны равны".
Самый распространенный вид явных определений — это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение квадрата относится к таким определениям. Действительно, понятие "прямоугольник", содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию "квадрат", а свойство "иметь все равные стороны" позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов — квадраты.
Основные правила явного определения.
1) Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.
Если это правило нарушается, в определении возникают логические ошибки.
Например, несоразмерно следующее определение: "Параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие", так как в объем определяющей входят и скрещивающиеся прямые.
2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Круг возникает либо тогда, когда определяемое понятие характеризуется через него же, используются лишь иные слова, либо когда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое.
Неявные определенияне имеют формы равенства двух понятий. Часто в таких определениях вместо определяющего содержится контекст (отрывок текста). Определения такого вида называют контекстуальными. К неявным относятся еще остенсивные определения, когда называют и показывают тот объект, термин для которого вводят.
3. Умозаключения и их виды.
УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ
Умозаключение — это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося Оно представляет собой переход от нескольких высказываний А, А2, Ап(п > 1) к новому высказыванию В.
Приведем примеры умозаключений (рассуждений).
1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:
3+ 2 < 3 • 2 (А!)
4+ 3 < 4 • 3 (А2)
7 + 5 < 7 • 5 (Аз).
На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.
2) Если число х при счете называют раньше числа у то х меньше у (А). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А2). Следовательно 7 < 8 (В).
В умозаключении различают посылки — высказывания представляющие исходное знанием и заключение — высказыванием к которому приходят в результате умозаключения.
В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключением но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение — потом посылки; заключение может находиться между посылками.
Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь различают правильные (дедуктивные) и неправильные (недедуктивные) умозаключения.
Дедуктивным умозаключениемназывается умозаключением в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования.
В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.
Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать их помогают правила логики:
Ошибки в рассуждениях неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и Формулы приводят к ложному заключению. Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать помогает усваивать многие математические факты.
Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Приором таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.
Неполная индукция— это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством делается вывод что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.
Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.
Рассмотрим пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5 делится на 5. В данном случае заключение истинно — нам известен признак делимости на 5.
Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать. Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать обобщать делать выводы.
Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.
Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки способствует развитию математической интуиции.
4. Понятия множества. Способы задания множеств.
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА
В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: цифры: 0,1,2,3,4.5,6,7,8,9. натуральные числа: 1, 2, 3, 4,... треугольники и т.д.
Все эти различные совокупности называют множествами. Множество — одно из основ- ных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце 19 века как обобщение понятий: класс группа, набор и т.п.
В быту множеством называют большое количество элементов. В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объектами не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А.В.С Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 Например, пустым является множество решений уравнения 5 : х = 0.
Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел,
Q — множество рациональных чисел,
R — множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с,..., .
Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество букв русского алфавита — конечное, а множество точек на прямой — бесконечное множество.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ
Так как понятие множества не имеет явного определения необходимо научиться узнавать является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.
Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит.
Способы задания множеств:
— перечисляют все его элементы : А = { 3,4,5,6,7 },
(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).
— указывают характеристическое свойство элементов:
В — множество двузначных чисел,
К - множество цветов спектра,
(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).
Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.