Теоремы Ролля Коши Лагранжа Правило Лопиталя (стр. 1 из 2)
Реферат
на тему:
"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"
1. Теорема Ролля
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).
Теорема 1.1. Если функция 
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка 
, 
обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка 
, в которой
.Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке
, то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума 
и максимума 
(рис. 1.1).Если
, функция постоянна, то есть 
. Но в этом случае 
для любого 
.В общем случае
, и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что 
. Тогда существует точка 
, в которой 
. 
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое значение
является максимальным, то для него справедливо, что 
для 
и 
.Рассмотрим пределы
для и
для .Так как оба предела равны производной функции
в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности 
и 
следует, что , что и требовалось доказать.Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка
функция не обращается в ноль, но принимает равные значения 
. Доказательство проводится аналогично.Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось
в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между 
и 
касательная к кривой параллельна оси .Необходимо отметить, что если не во всех точках
у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции 
(рис. 1.2):
Рис. 1.2
Данная функция непрерывна на отрезке
и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.2. Теорема Лагранжа
Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке 
и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой
.Доказательство. Рассмотрим график функции
(рис. 2.1).Проведем хорду, соединяющую точки
и 
, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим: 
,откуда:
Рис. 2.1
и 
.Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
.Полученная функция
непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что 
. Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой 
.Вычислим производную функции
: 
.Согласно теореме Ролля в точке
производная , то есть 
и,что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка
существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
,то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
3. Теорема Коши
Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.