Векторная алгебра и аналитическая геометрия (стр. 2 из 5)

Найдем скалярное произведение векторов

и и их длины. , , . Подставив в формулу, получим . Отсюда .

Определение. Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор (другое обозначение ), который:

а) имеет длину

, где – угол между векторами и ;

б) перпендикулярен векторам

и ( ) (то есть, перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и );

в) направлен так, что векторы

, , образуют правую тройку векторов, то есть из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис.2).

Координаты векторного произведения вектора

на вектор определяются по формуле:

Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора

равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения:

1)

; 2) ;

3)

; 4) и коллинеарны.

Пример 3. Параллелограмм построен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Решение.

, ,

.

Угол между диагоналями обозначим буквой

, тогда

Следовательно,

.

Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма:

Определение. Смешанным произведением трех векторов

, , называется скалярное произведение вектора на вектор :

.

Если

то смешанное произведение можно вычислить по формуле:

.

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак;

2)

; 3) ;

4)

компланарны .

Геометрический смысл смешанного произведения: объем

параллелепипеда, построенного на векторах , , (рис.4), а объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам .

Пример 4. Компланарны ли векторы

, , ?

Решение. Если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:

векторы , , некомпланарны.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть отрезок

в пространстве Oxyz задан точками и . Если он разделен точкой в отношении , то координаты точки следующие:

.

Пример 5. Найти точку

, делящую отрезок в отношении , если .

Решение. Определим координаты точки

:

. Таким образом, .