Векторная алгебра и аналитическая геометрия (стр. 3 из 5)
Аналитическая геометрия.
Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид:
, 
, где 
– нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент 
пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору 
, имеет вид 
.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
, 
и 
имеет вид: 
.Угол
между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы 
и 
, определяется как угол между векторами 
и 
по формуле: 
.Расстояние от точки
до плоскости вычисляется по формуле 
.Пример 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
, 
, 
.Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель
, или 
– искомое уравнение плоскости.Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:
, где 
– нормальный вектор прямой (перпендикулярный прямой), а коэффициент 
пропорционален расстоянию от начала координат до прямой.Уравнение прямой, проходящей через данную точку
, имеет вид 
или 
.В другом виде
, где 
– тангенс угла, образованного прямой и положительным направлением оси Ox, называемый угловым коэффициентом, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и 
, имеет вид 
.Угол
между двумя прямыми 
и 
определяется формулой 
.Расстояние от точки
до прямой находится по формуле 
.Пример 7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
, 
и уравнение его диагонали 
. Составить уравнения  |
остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
Решение. Сделаем схематический чертеж (Рис.6). Перепишем данные уравнения в виде:
, 
, 
. Так как угловые коэффициенты прямых, задающих стороны прямоугольника, одинаковы 
, то эти уравнения задают параллельные прямые, то есть стороны, на них лежащие, противоположны. Найдем точки пересечения данной диагонали с этими сторонами. Пусть это будут точки 
и . Для этого приравняем сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения: 
; 
. Таким образом, 
.Неизвестные стороны параллельны между собой и перпендикулярны данным (так как это прямоугольник).
Замечание. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых
и 
связаны соотношением 
.Таким образом, уравнения неизвестных сторон прямоугольника таковы:
. Подставив в первое уравнение координаты точки , во второе – точки , получим, что 
и, следовательно, 
, 
.Найдем координаты точек
и , приравняв уравнения соответствующих сторон: 
, то есть 
; 
, то есть 
.Уравнение диагонали
получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и : 
или 
.Уравнения прямой в пространстве. Прямая в пространстве Oxyz определяется как линия пересечения двух плоскостей
(общие уравнения прямой в пространстве).Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
,где
– точка, через которую проходит прямая, а вектор 
, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
и имеют вид