Векторная алгебра и аналитическая геометрия (стр. 4 из 5)

.

Угол

между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

.

Пример 8. Пирамида задана координатами своих вершин

, , . Требуется найти:

1) длины ребер

и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ;

6) уравнение высоты

, опущенной из вершины на плоскость ;

7) расстояние от вершины

до плоскости ; 8) угол между ребром и гранью, содержащей вершины .

Решение.1) Длины ребер

и определим как модуль векторов и по формулам ;

;

2) Найдем координаты векторов

и :

Длины этих векторов, т.е. длины ребер

и , таковы: ,

. Косинус угла между ребрами и вычислим по формуле ;

3) Площадь грани

(треугольника) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равно

.

Тогда,

(кв. ед);

4) Объем пирамиды равен

.

(куб. ед);

5) Уравнения прямых

и найдем как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

(

): ,

(

): (абсциссы точек и одинаковые);

6) Направляющим вектором высоты

является нормальный вектор плоскости . Получим уравнение плоскости :

,

– уравнение плоскости . Тогда нормальный вектор плоскости имеет координаты . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: ;

7) Для вычисления расстояния от вершины

до плоскости воспользуемся формулой . В нашем случае – уравнение плоскости и . Итак, ;

8) Угол

между прямой и плоскостью находят по формуле:

, где – нормальный вектор плоскости . и (см. п.7) . Таким образом, ,

.

Кривые второго порядка

Определение. Параболой называется множество точек

плоскости (см. рис.7а), для каждой из которых расстояние до данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до некоторой данной прямой (директрисы). Расстояние от фокуса параболы до директрисы называется параметром параболы. Парабола – симметричная кривая; точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы.

Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат:

.

Определение. Эллипс есть множество точек

плоскости (см. рис.7б), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и (фокусов) постоянна и равна .

Отрезок

называется фокусным расстоянием и обозначается через . Середина есть центр эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы эллипса, называется первой осью эллипса. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно его первой оси, называется второй осью эллипса. Оси эллипса являются его осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. – большая ось эллипса, – малая ось.