Векторная алгебра и аналитическая геометрия (стр. 1 из 5)

Векторная алгебра

Вектор в декартовой системе координат

Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если

, , то вектор имеет координаты .

Вектор

в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

, где тройка называется координатами вектора. Векторы – единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число .

Линейные операции с векторами

Сложение векторов определяется по правилу параллелограмма: вектор

является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис.1а).

Разность двух векторов

и определяется по формуле , где – вектор той же длины, что и вектор , но противоположно направленный. Чтобы найти вектор-разность нужно отложить векторы и из общей точки, соединить концы векторов вектором, направленным от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (то есть от к ) (рис.1б). Построенный вектор и будет искомой разностью.

При сложении нескольких векторов каждая координата суммы есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов, при умножении вектора на данное число

на это же число умножаются и координаты вектора:

а)

;

б)

, где – скалярный множитель.

Несколько векторов называются коллинеарными (компланарными), если они параллельны одной и той же прямой (плоскости). Векторы

и параллельны (коллинеарны), то есть соответствующие координаты этих векторов пропорциональны с одним и тем же коэффициентом пропорциональности: .

Базис на плоскости и в пространстве

Определение. Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Любой вектор однозначным образом раскладывается по базису. Коэффициенты разложения называются координатами этого вектора относительно данного базиса. Векторы

образуют базис в декартовом координатном пространстве Oxyz.

Пример 1.

Даны векторы

. Показать, что векторы и образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если два вектора неколлинеарны (

), то они образуют базис на плоскости. Так как , то векторы и неколлинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид , или в координатной форме

или

Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, что

.

Значит

. Таким образом, в базисе вектор имеет координаты .

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов

и называется число, определяемое равенством:

,

где

– угол между векторами и . Если , то .

Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле:

.

Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид:

, или , а условие их коллинеарности: , или .

Свойства скалярного произведения:

1)

; 2) ; 3) ; 4) , причем .

Пример 2. Найти угол между векторами

и , если , , , .

Решение. Используем формулу

. Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , .