Линейные уравнения и их свойства (стр. 2 из 7)

Неизвестную

перенесем в правые части уравнений

Отсюда определяем

Задавая переменной

произвольное значение , найдем бесконечное множество решений системы

Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид

. Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству

Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.

Таблица 1

Видресурсов	Норма расхода ресурсовна производство ед. товара			Объемресурсовна 1 день
	1 вид	2 вид	3 вид
Рабочая сила	1	1	2	800
Сырье	3	2	4	1700
Оборудование	2	1	3	1100

Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решение. Пусть

- ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные

Решим ее методом Гаусса.

~ ~

Отсюда находим

, т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.

Задача для контрольной работы

Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов

. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.

Таблица 2

Номерварианта	Видсырья	Норма расхода сырья на 1 изделие			Объемрасхода сырья
		Изделие 1	Изделие 2	Изделие 3
1		3	2	4	2000
		1	3	2	1100
		2	5	1	1200
2		4	1	3	1800
		1	2	5	2500
		2	1	2	1200
3		2	3	4	1400
		3	1	3	1000
		1	2	3	1000
4		1	5	2	1700
		2	3	1	1100
		3	1	4	1700
5		2	2	4	2200
		1	3	1	1300
		3	1	2	1600
6		1	3	3	1500
		3	1	1	900
		2	2	4	1700
7		4	2	1	1200
		3	3	2	1600
		1	2	1	900
8		1	2	2	1000
		3	1	2	1200
		4	3	4	2200
9		2	2	3	1000
		1	3	1	700
		3	1	2	700
10		1	3	4	2700
		2	1	3	1900
		3	2	1	1600

Тема 2. Векторная алгебра

Упорядоченную совокупность

вещественных чисел в виде называют мерным вектором. Число называют ой компонентой вектора . Для векторов вводят следующие линейные операции.

Суммой двух векторов одинаковой размерности

называют такой вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Пример 1.

,

Произведением вектора

на число называют вектор , компоненты которого равны произведению числа на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Пример 2.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: