Линейные уравнения и их свойства (стр. 5 из 7)
2.Найдем параметр
. Функция распределения 
обладает следующим свойством: 
=1. Вычислим предел = 
.Отсюда
=1.Далее определим параметр
. Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от 
до 
. Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем
Таким образом,
= 
.3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что
= ) как несобственный интеграл: 
.Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть
.Тогда
.Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:
По формуле
определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл
также методом интегрирования по частям. Пусть
. Тогда 
, 
.Последний интеграл уже найден при вычислении
, поэтому можно записать:
.Отсюда окончательно получаем:
.После подстановки численных значений параметров, находим
Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:
4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения
При
получаем 
Подставляя численные значения параметров, имеем:
Величина
, определяемая равенством 
, называется квантилем порядка 
. В задаче требуется найти . Запишем необходимое равенство: 
или 
. Логарифмируя последнее равенство 
, найдем 
.При
=0,5 получаем: 
Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).
Задача для контрольной работы
Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:
Требуется найти:
1. Плотность распределения вероятности.
2. Параметры
и 
.3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.
4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения
до 
.5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью
.Параметры
для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.Таблица 6
| Параметры | Номер варианта | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| | 200 | 250 | 300 | 350 | 360 | 370 | 380 | 390 | 400 | 410 |
 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 | 4,0 |
| | 210 | 280 | 350 | 400 | 380 | 390 | 410 | 420 | 425 | 440 |
| | 230 | 300 | 400 | 480 | 400 | 420 | 430 | 450 | 460 | 500 |
| | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,45 | 0,5 | 0,55 | 0,6 | 0,55 | 0,65 | 0,7 |
Тема 5. Математическая статистика
Задача. При оценке свойств картофеля было обследовано 10 проб и получены следующие значения содержания крахмала
:Таблица 7
| Содержание крахмала, % | |||||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 5,2 | 5,8 | 5,7 | 6,0 | 5,9 | 5,3 | 4,9 | 5,1 | 5,3 | 5,8 |
Требуется:
1. Определить выборочное среднее
, выборочную дисперсию 
, среднее квадратическое отклонение 
, исправленные дисперсию 
и среднее квадратическое отклонение 
для величины .2. Полагая, что изменчивость величины
описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения 
содержания крахмала с заданной надежностью 
, а также вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до .