Факторіальні кільця та їх застосування (стр. 7 из 8)
Доведено.
3.2 Кільце поліномів
3.2.1 Поняття кільця поліномів від однієї змінної
Нехай K і L – комутативні кільця з основними множинами К і L відповідно.
Означення. Кільце L називається простим розширенням кільця K за допомогою елемента u, якщо виконуються умови:
(1) K – підкільце кільця L;
(2) будь-який елемент a з L можна подати у вигляді
a=a0+a1u+ … +anun, де a0, a1,…, anÎK.
Запис L= K[u] означає, що кільце L є просте розширення кільця K за допомогою елемента u.
У цьому випадку основну множину кільця L позначають також через К[u], L=K[u]
Означення. Кільце L=K[u] називається простим трансцендентним розширенням кільця K, якщо виконується наступна умова:
(3) для будь-яких елементів a0, a1,…, an множини К з рівності a0+a1u+ … +anun=0 випливають рівності a0=0, a1=0,…, an=0.
Якщо L=K[u] – просте розширення кільця K с допомогою u і u задовольняє умовам (3), то елемент u називається трансцендентним відносно K.
Якщо K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u, то кільце K[u] називається також кільцем поліномів від u над K, а елементи кільця K[u] – поліномами від u над K чи поліномами над K.
Твердження. Нехай K[u] – просте трансцендентне розширення кільця K за допомогою u. Тоді для будь-якого елемента а кільця K[u], якщо а=a0+a1u+ … +anun і а=a¢0+a¢1u+ … +a¢nun, де ai, a¢iÎK, то ai=a¢i,
то ai=a¢i для i=1,2,…, n.
Доведення.
Якщо
а=a0+a1u+ … +anun=a¢0+a¢1u+ … +a¢nun (ai, a¢iÎK),
то a0–a0¢+(a1–a1¢) u+ … +(an–an¢) un=0.
За умовою, елемент u являється трансцендентним відносно K. Тому з (1) випливають рівності aі–aі¢=0 і aі=aі ¢ для і=0,1,…, n.
Доведено.
Задачі
№1
Перевіримо, чи є кільцем множина К всіх многочленів з кільця Z[x], в яких вільний член ділиться на 5.
Розв’язання.
Нехай f(x)=anxn+ … +a1x+5a0,
g(x)=bmxm+ … +b1x+5b0, m³n.
Тоді
f(x)+g(x)=bmxm+ … +(an+bn) xn+ … +(a1+b1) x+(5a0+5b0)=bmxm+ … +(an+bn) xn+ … + +(a1+b1) x+5 (a0+b0),
f(x) – g(x)=(–bm)xm+ … +(an–bn) xn+ … +(a1–b1) x+5 (a0–b0),
f(x)·g(x)=anbmxn+m+ … +(5a1b0+5a0b1)+5·5a0b0.
Це означає, що f(x)+g(x), f(x) – g(x) і f(x)·g(x) також є елементами множини К. Отже, К є підкільцем кільця Z[x].
Відповідь: Множина К утворює кільце.
№2
Довести, що для кожного многочлена f(x) з кільця Z[x] і для будь–яких цілих чисел a і b число f (a+
)+f (a– ) є цілим.Доведення.
Многочлени f (a+
) та f (a– ) мають такий виглядf (a+
) =an(a+ )n+ … +a1(a+ )+a0,f (a–
) =an(a– )n+ … +a1(a– )+a0.Коли ми будемо додавати f (a+
)+f (a– ) і підносити до степеня, то всі знищаться і залишаться лише цілі числа. Ми прийшли до того, що нам потрібно довести.Доведено.
3.2.2 Факторіальність кільця поліномів
Теорема. Якщо кільце К факторіальне, то і кільце поліномів К[x] факторіальне.
Доведення.
Нехай К – факторіальне кільце. Доведемо, що будь-який відмінний від нуля необоротний елемент кільця К[x] однозначно з точністю до порядку співмножників і оборотних множників розкладемо в добуток простих множників в K[x]. Спочатку доведемо можливість розкладання на прості множники. Нехай f – довільний ненульовий поліном з K[х]. Якщо f – поліном нульового ступеня, то fÎК. Оскільки кільце K факторіальне, поліном f можна подати у вигляді добутку простих множників у К і, значить, у К[x].Припустимо, що deg f =n>0, і всякий поліном, ступінь якого менше n, розкладемо в добуток простих множників. Нехай
(1) f=dg(x),
де dÎK, g(x) – поліном позитивного степеня, примітивний в К[х]. Якщо поліном g незвідний над К, то, розкладаючи в (1) множник а на прості множники, одержимо розкладання f на прості множники. Якщо ж поліном g(х) звідний в К[х], то його можна подати у вигляді добутку двох поліномів позитивного степеня, меншого, ніж n: g(x)=h(x)j(x).По індуктивному припущенню, h(х) і j(х) можна подати у вигляді добутку простих множників у К[x]. Отже, g, а в силу (1) і f також можна подати у вигляді добутку простих множників.
Доведемо єдиність розкладу. Нехай дані будь-які два розклади f на прості множники в K[x]:
(2) f=p1…pkq1…qs=p1¢…pr¢q1¢…qt¢,
де pi, pi¢ÎK, qi, qi¢ – незвідні, а виходить, і примітивні поліноми позитивного степеня. З (2) випливає, що
(3) p1…pk ~p1¢…pr¢ в K;
(4)q1…qs~q1¢…qt¢ в K[x].
Оскільки кільце K факторіальне, то з (3) випливає, що k=r і при відповідній нумерації
(5) pi~pi¢ в K для i=1, 2, …, k
Далі, за наслідком 3.6, поліноми qi і qi¢ незвідні в кільці F[х]. У силу факторіальності кільця F[х] з (4) випливає, що s=t і при відповідній нумерації
qi~ qi¢ в F[х] для i=1,…, s.
Поліноми qi і qi¢ незвідні в K[x] і, значить, примітивні в K[х], крім того, ці поліноми асоційовані в F[x]. Отже, вони асоційовані в K[x],
(6) qi~ qi¢ в K[х] для i=1,…, s.
У силу (5) і (6) поліном f має однозначний розклад на прості множники в кільці K[x]. Отже, показано, що кільце K[x] факторіальне.
Доведено.
Задачі
№1
Довести, що множина I всіх многочленів кільця Z[x], вільний член яких дорівнює парному числу, є ідеалом Z[x]. Чи є цей ідеал головним?
Розв’язання.
Очевидно, що ця множина замкнена відносно віднімання та множення на довільний елемент кільця. Отже, ця множина буде ідеалом.
Візьмемо будь–які елементи
x2+4ÎI, x+2ÎI.
Перевіримо чи x2+4Mx+2.
x2+4=x2–4+8=(x-2) (x+2)+8.
Так як x2+4 не ділиться на x+2 то дана множина I не буде головним ідеалом.
Відповідь: Множина I буде ідеалом, але не головним.
№2
Знайти НСД і НСК таких многочленів:
f(x)=x4+2x3–2x-1,
g(x)=(x+1) (x2–x-2)
в кільці Q[x].
Розв’язання.
Розкладемо дані многочлени на множники:
f(x)=x4–1+2x(x2–1)=(x2–1) (x2+2x+1)=(x+1)3(x-1),
g(x)=(x+1) (x-2) (x+1)=(x+1)2(x-2).
Очевидно, що
(f, g)=(x+1)2,
[f, g]=(x+1)3(x-1) (x-2).
Відповідь: (f, g)=(x+1)2, [f, g]=(x+1)3(x-1) (x-2).
№3
Розкласти на незвідні в полі P множники такий многочлен:
f(x)=x4–2x3–27x2–44x+7.
Розв’язання.
Розклад матиме такий вигляд:
f(x)=(x2+bx+1) (x2+cx+7).
f(x)=x4+(c+b) x3+(bc+8) x2+(7b+c) x+7.
с=–2-b,
(–2-b) b=–35,
– b2–2b=–35,
b2+2b-35=0,
Отже, даний многочлен розкладається таким чином:
f(x)=(x2–7x+1) (x2+5x+7).
Відповідь: f(x)=(x2–7x+1) (x2+5x+7).
3.3 Кільце многочленів від кількох змінних
3.3.1 Поняття кільця многочленів від кількох змінних
Означення Кільцем многочленів R[х1, х2,…, xn-1, хn] від n змінних х1, х2,…, xn-1, хn над областю цілісності R називається кільце многочленів від змінної xn над кільцем R[х1, х2,…, xn-1] тобто
R[х1, х2,…, xn-1, хn] = R[х1, х2,…, xn-1] [xn] (4)
Це означення має індуктивний характер. При п=1 воно зводиться до означення кільця многочленів від однієї змінної х1 над областю цілісності R (природно вважати, що при п =1 R[х1, х2,…, xn-1, хn] =R). Якщо ж уже означено кільце R[х1, х2,…, xn-1] при п³1, то за допомогою (4) дістаємо означення кільця R[х1, х2,…, xn-1, хn]. Отже, для довільного натурального п означено кільце многочленів від п змінних х1, х2,…, xn-1, хn
Теорема Кільце многочленів R[х1, х2,…, xn-1, хn] над областю цілісності R є область цілісності.
Доведення.
Твердження правильне при п = 1. Припустимо, що воно правильне при п = т і розглянемо кільце R[х1, х2,…, xm, хm+1]. Згідно з означенням 1, R[х1, х2,…, xm, хm+1] є кільце многочленів над Rm= R[х1, х2,…, xm]. За припущенням індукції, R, є область цілісності. Отже, Rm[xm+1]=R[х1, х2,…, xm, хm+1] є область цілісності. За принципом індукції, R[х1, х2,…, xn-1, хn] є область цілісності при довільному натуральному п.