Смекни!
smekni.com

Факторіальні кільця та їх застосування (стр. 8 из 8)

Доведено.

Зрозуміло, що коли R – область цілісності з одиницею, то R1, х2,…, xn-1, хn] – область цілісності з одиницею.

Наступна теорема встановлює будову елементів області цілісності R1, х2,…, xn-1, хn].

Теорема 2. Кожний елемент fÎR1, х2,…, xn-1, хn] можна подати у вигляді скінченної суми


AiÎR, kijÎZ+(5)

Навпаки, будь-який вираз виду (5) є елементом кільця R1, х2,…, xn-1, хn].

Доведення

Доведення проведемо індукцією по n. При n=1 твердження правильне. Припустимо, що воно правильне при n=m і перевіримо його правильність при n=m+1. За означенням 1, кожний елемент fÎR1, х2,…, xm, хm+1] є многочлен від Хm=1 над областю цілісності R1, х2,…, xm], і тому його можна подати у вигляді суми

(6)

За припущенням індукції, кожний многочлен aj(x1, …, xm) від n змінних можна подати у вигляді скінченної суми

, (7)

,

(i=1, 2, …, Nj; s=1, 2, …, m; j=0, 1, 2, …, l).

Підставивши вираз (7) в (6) і виконавши відповідні дії (в розумінні дій у кільці R1, х2,…, xm, хm+1] з урахуванням того, що воно містить R1, х2,…, xm] як підкільце), дістанемо скінченну суму виду


, (8)

де BrÎR (r=1, …, N), бо кожне Br є якесь з

.
Навпаки, кожна сума виду (8) є елемент кільця R1, х2,…, xm, хm+1]: адже будь-який її доданок
може розглядатись як многочлен від xm+1 з коефіцієнтом
ÎR1, х2,…, xm] й тому й уся сума належить кільцю R1, х2,…, xm, хm+1].

Отже, твердження теореми правильне і при n=m+1, тобто за принципом математичної індукції теорему доведено.

Доведено.

Означення Кожний елемент кільця R1, х2,…, xn] називають многочленом від n змінних х1, х2,…, xn над R. і позначають f(х1, х2,…, xn), g(х1, х2,…, xn) і т. п.

Згідно з теоремою 2, будь-який многочлен з R1, х2,…, xn] можна подати у формі суми (5)

AiÎR, kijÎZ+(9)

Кожний доданок

цієї суми називають членом многочлена f(х1, х2,…, xn), відповідний елемент AiÎR – коефіцієнтом члена (і многочлена). Два члени, які відрізняються лише коефіцієнтами, називають подібними; іншими словами, члени подібні, якщо усі змінні входять множниками в ці члени у попарно рівних степенях, наприклад
та
. При цьому порядок, в якому записано множники
неістотний, тобто

члени

,
,
тощо вважаємо однаковими, рівними між собою. Відповідно до цього, R2, х1,…, xn], R3, х2,…, x1], R1, х2,…, xn] і т. п. є різними формами запису того самого кільця многочленів від змінних х1, х2,…, xn над областю цілісності R.

Задачі

№1

Виразити через σі такий многочлен

f (x, y)=x3y+y3x+2x2+2y2.

Розв’язання.

Основні симетричні многочлени σ1, σ2 мають вигляд:

σ1=x+y,

σ2=xy.

Виразимо даний многочлен через σ1, σ2

f (x, y)=xy(x2+y2)+2 (x2+y2)=(x2+y2) (xy+2)=

=((x+y)2–2xy) (xy+2)=(σ1–2σ2) (σ2+2)=

12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.

Відповідь: f (x, y)=σ12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.

№2

Довести, що для Sn=xn+yn, nÎN, при n>2 виконується рекурентне співвідношення

Sk1Sk–1–σ2Sk–2.

Доведення.

Доведемо методом математичної індукції.

Перевіримо базу індукції при n=3

S31S2–σ2S1=(x+y) (x2+y2) – xy (x+y)=x3+y3.

Припустимо, що твердження вірне для n=k.

Доведемо, що дане твердження справджується і при n=k+1

Sk+11Sk–σ2Sk–1=(x+y) (xk+yk) – xy(xk–1+yk–1)=

=xk+1+xyk+xky+yk+1–xky–xyk=xk+1+xk+1.

Отже, виходячи з математичної індукції твердження доведено.

Доведено.

3.3.2 Факторіальність кільця поліномів від n змінних

Теорема. Нехай К – факторіальне кільце. Тоді кільце поліномів К[х1,….хn] від х1,…., хn над К також являється факторіальним.

Доведення.

Теорема доводиться індукцією по n. Для n=1 твердження правильне. Припустимо, що кільце поліномів К[х1,….хn–1] від х1,….хn–1, над К факторіальне. Доведемо, що факторіальним тоді буде і кільце К[х1,…, хn].

К[х1,…, хn]=К[х1]… [.хn]=(К[х1,….хn–1]) [xn].

За індуктивним припущенням, кільце К[х1,…, хn–1] факторіальне. Тоді факторіальним є також його розширення (К[х1,….хn–1]) [xn] за допомогою елемента xn, трансцендентного над кільцем К[х1,….хn–1]. Таким чином, кільце поліномів К[х1,….хn] факторіальне для довільного натурального n.

Доведено.

Наслідок Кільце поліномів F[х1,….хn] над полем F факторіальне.

Задачі

№1

Розкласти на множники найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами такий многочлен

f (x, y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+10y4.

Розв’язання.

f (x, y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+10y4=10 (x4+y4) – 27 (x2+y2)–110x=

=10 [(σ12–2σ2)2–2σ22]–27σ212–2σ2)–110σ22=10σ14–67σ12σ2–36σ22.

Розкладемо цей вираз на множники. Для цього знайдемо його корені.

σ2=–2σ12,

σ2′′=

σ12.

Тоді наш многочлен

f=–36 (σ2

σ12) (σ2+2σ12)=(–36σ2+5σ12) (σ2+2σ12).

f (x, y)=(–36xy+5 (x+y)2) (xy+2 (x+y)2=

=(–36xy+5x2+10xy+5y2) (2x2+3xy+2y2)=

=(5x2–26xy+5y2) (2x2+3xy+2y2).

Розглянемо кожний з цих множників, як квадратний тричлен відносно x

5x2–26xy+5y2 x′=5y, x′′=

.

2x2+3xy+2y2 x′=

y, x′′=–2y.

Тоді маємо

f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).

Відповідь: f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).


Використана література

1. Алгебра і теорія чисел, ч. 1. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Видавниче об’єднання «Вища школа», 1974, 464 с.

2. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Видавниче об’єднання «Вища школа», 1976, 384 с.

3. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов.–М.: Высшая школа, 1979, – 559 с., ил.

4. Збірник задач з теорії чисел. [Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету] За ред. І.О. Рокіцького, Вінниця, 2001–115 с.

5. Збірник задач з алгебри. [навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету] За ред. І.О. Рокіцького, Вінниця, 2002–176 с.

6. Алгебра і теорія чисел: Практикум. Частина 2 /С.Т. Завало, С.С. Левіщенко, В.В. Пилаєв, І.О. Рокіцький. – К.: Вища школа Головне видавництво, 1986. – 364 с.

7. Збірник задач і вправ з теорії чисел. Є.П. Морокішко. Центр «Магістр-S», 1995 р. 158 с.