Решение задач с использованием векторов и матриц (стр. 2 из 3)
Для включения векторизации следует набрать имя и параметры функции, курсором подчеркнуть обозначение функции и нажать [CTRL - ] или выбрать кнопку палитры “Matrix”
. Режим векторизации функции указывается стрелкой над обозначением функции. 
При попытке вычислить алгебраическую функцию от вектора или матрицы без включения операции векторизации появляется сообщение об ошибке «non-scalarvalue».
4.3 Встроенные функции для обработки векторов и матриц
При описании встроенных функций обрабатываемый вектор обозначен именем V, обрабатываемая матрица – именем M. На практике пользователь при вызове функции указывает имя вектора или матрицы, которые необходимо обработать в данном месте документа. Конечно, вектор или матрица должны быть определены до выполнения функции.
| Параметры векторов и матриц | |
| Получение минимального элемента вектора или матрицы | min(V) min(M) |
| Получение максимального элемента вектора или матрицы | max(V) max(M) |
| Количество элементов вектора | length(V) |
| Номер последнего элемента вектора (при нумерации с 0 равно length(V)-1 | last(V) |
| Количество строк матрицы | rows(M) |
| Количество столбцов матрицы | cols(M) |
| Вычисление следа квадратной матрицы (суммы диагональных элементов) | tr(M) |
Примеры:
| Формирование новых матриц | |
| Формирование единичной квадратной матрицы размера n*n | identity(n) |
| Формирование квадратной матрицы, на диагонали которой расположены элементы вектора V, остальные элементы =0 | diag(V) |
| Объединение двух или более матриц, имеющих одинаковое число строк, в одну | augment(M1,M2) |
| Объединение двух матриц, имеющих одинаковое число столбцов, в одну | stack(M1,M2) |
| Выделение части матрицы в пределах r1,r2,c1,c2 | submatrix(M,r1,r2,c1,c2) |
Примеры:
| Сортировка элементов векторов и матриц | |
| Упорядочение (сортировка) элементов вектора в порядке возрастания | sort(V) |
| Расположение элементов вектора в обратном порядке | reverse(V) |
| Упорядочение элементов k-го столбца матрицы по возрастанию перестановкой строк | csort(M,k) |
| Упорядочение элементов k-й строки матрицы по возрастанию перестановкой столбцов | rsort(M,k) |
Примеры:
 | |
 | - строки были переставлены так, чтобы элементы 2-го столбца расположились по возрастанию |
 | - столбцы были переставлены так, чтобы элементы 1-й строки расположились по возрастанию |
4.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений в среде МС
Для многих численных методов решение системы линейных уравнений является одним из этапов. Как известно, систему линейных уравнений можно представить в матричной форме
AX=B,
где А – матрица коэффициентов системы, В - вектор правых частей уравнений.
Для решения системы линейных уравнений можно использовать метод обратной матрицы. Этот метод, являющийся достаточно громоздким, в МС реализуется одной строкой. В соответствии со свойством обратной матрицы A-1A=I, где I-единичная матрица, получаем, что столбец неизвестных
X:=A-1B.
Выполнив вычисление по этой формуле, далее в документе нужно вывести результат на экран и выполнить проверку (правая часть должна совпасть с вектором b).
Пример. Решение системы трех уравнений
 |  |
вычисляем:  | |
Для решения системы уравнений можно использовать встроенную функцию lsolve(A,B). Матрицы A и B определяются так же, а затем находится вектор неизвестных
.Универсальный характер векторов и матриц в среде МС. В МС реализован принцип вложенности структур данных различного типа. Это означает, что элементами вектора или матрицы могут быть другие векторы или матрицы, или функции. Функция, в свою очередь, может иметь матричную структуру, и так далее.
Это позволяет экономично описывать исходные данные, планировать вычисления и группировать результаты. Вложенность данных используется также при разработке программных блоков в среде МС.
При выводе на экран таких векторов или матриц МС показывает не численные значения, а структуру элемента (в фигурных скобках), например
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ
Выполнить вычисления в задачах №1, №2, №3, №4 (по вариантам).
ЗАДАЧА 1. Выполнить действия по обработке заданных векторов и матриц с выводом на экран всех промежуточных результатов.
1) ra3=(1.2,-2.3,6.05); cz4=(-0.4,3.1,8.2);
│ 2 3 -1│ │-1 0 5│
A = │ 9 5 2│ ; B = │35 1 3│ ;
│-1 0 7│ │-2 -2 4│
- вычислить скалярное произведение ra3 и cz4;
- вычислить модуль вектора a=2*ra3-3*cz4;
- вычислить векторное произведение векторов 2*cz4 и -3*ra3;
- вычислить определитель матрицы 2*A-3B
- вычислить произведение матриц A^(-1) и B^2
- вычислить новую матрицу A1 путем возведения элементов
исходной матрицы A в куб;
- вычислить след матрицы (А+5B)^(-1);
2) kq3=(3.6,-2.3,9.45); uv4=(-5.1,5.8,-8.4);
│ 2 4 7 │ │ 2 3 –5 │
T = │ 5 1 –4 │; S = │41 -4 3 │;
│ 9 3 –3 │ │ 3 -1 1 │
- вычислить векторное произведение kq3 и uv4;
- вычислить модуль вектора a=6*kq3-2.3*uv4;
- вычислить скалярное произведение векторов kq3 и uv4;
- транспонировать матрицу 5*T-3*S
- вычислить произведение матриц T^2 и S^4
- вычислить новую матрицу S1 путем деления всех элементов ис-
ходной матрицы S на минимальный;
- вычислить след матрицы T^(-1);
3) vx3=(6.6,-3.1,8.36); ca4=(-6.3,8.5,-3.3);
│ 9 5 –2 │ │ 4 3 –3 │
G = │13 -3 –3 │; H = │51 11 4 │;
│ 6 7 4 │ │ 5 -2 14 │
- вычислить модуль векторного произведения 4*vx3 и -ca4;
- вычислить максимальный элемент вектора b=3.4*vx3+2.3*ca4;
- вычислить скалярное произведение векторов b и vx3;
- вычислить определитель матрицы 3*G-4*H^3
- вычислить произведение матриц (G-H)^3 и (2G+H)^(-1)
- получить новую матрицу G1 путем вычисления функции Бесселя
J3 от модулей элементов исходной матрицы G;
- вычислить след матрицы (G+H)^4;
4) dy3=(4.6,-2.7,2.48); se4=(-8.1,5.4,-9.3);
│ 19 -4 2 │ │ 3 -1 5 │
W = │ 25 1 4 │; D = │11 -4 –8 │;
│ 9 4 –3 │ │ 2 5 13 │
- упорядочить элементы вектора c=6*dy3-4.3*se4;
- вычислить скалярное произведение (dy3+c) и se4;
- вычислить модуль векторного произведения векторов c и dy3;
- вычислить определитель матрицы -4*W+3*D;
- выполнить объединение матриц W^2 и D^3;
- получить матрицу D1 путем вычисления функции ch
от элементов матрицы W/9;
- вычислить след матрицы (W-D)^7;
5) qn3=(4.3,-7.3,7.21); um4=(-4.1,7.2,-7.9);
│ 31 5 –7 │ │ 6 5 5 │
R = │ -5 4 4 │; G = │61 -4 –3 │;
│ 1 3 –1 │ │ 4 -3 2 │
- вычислить модуль вектора d=2.9*qn3-5.3*um4;
- вычислить векторное произведение d и um4;
- вычислить скалярное произведение векторов qn3 и um4;
- упорядочить элементы второй строки матрицы 3*R-7*G;
- вычислить определитель произведения матриц R^4 и G^2;
- вычислить матрицу G1, обратную матрице G;
- вычислить след матрицы R1, элементы которой получены
вычислением квадратного корня из модулей соответствующих
элементов матрицы R;
6) fa3=(7.6,3.2,8.02); hi4=(-1.4,5.6,-6.4);
│ 24 7 8 │ │ 1 4 –6 │
V = │ 15 14 –9 │; B = │54 -3 5 │;
│ 4 3 –1 │ │ 5 -2 7 │
- вычислить минимальный элемент вектора w=3.6*fa3-1.3*hi4;
- вычислить векторное произведение hi4 и 2*w и его модуль;
- вычислить скалярное произведение векторов w и fa3;
- вычислить определитель матрицы V^2-3*B
- вычислить произведение матриц V^(-1) и B^2
- вычислить новую матрицу V1 путем вычисления функции sh от
элементов матрицы V/5;
- вычислить след матрицы (V+B)^4;
7) wa3=(3.6,-2.1,9.45); ek4=(-5.1,5.8,-8.4);
│ 11 4 7 │ │ 2 1 –5 │
P = │ 5 1 –4 │; R = │31 -4 3 │;
│ 15 3 –3 │ │ 3 -3 1 │
- упорядочить элементы векторного произведения wa3 и ek4;
- вычислить модуль вектора s=6*wa3-2.3*ek4;
- вычислить скалярное произведение векторов s и wa3;
- вычислить определитель и след матрицы 5*R-3*P;
- вычислить минимальный элемент объединения матриц R^2 и P^4;
- вычислить новую матрицу R1 путем деления всех элементов ис-
ходной матрицы R на ее определитель;
- упорядочить элементы 1-го столбца матрицы P^5;
8) bt3=(4.6,-3.1,4.45); up4=(-5.1,6.8,-7.8);
│ 3 5 17 │ │ 8 -3 5 │
A = │ 11 6 –9 │; K = │27 4 –3 │;
│ 4 7 –3 │ │ 3 13 8 │