Решение задач с использованием векторов и матриц (стр. 1 из 3)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА КСАВ-03
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
4.1 Определение векторов и матриц в МС-документе
4.2 Математические операции над векторами и матрицами
4.3 Встроенные функции для обработки векторов и матриц
4.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений в среде МС
4.1 Определение векторов и матриц в МС-документе
В среде МС вектором считается столбец (но не строка) чисел (одномерный массив), а матрицей - прямоугольная таблица чисел (двумерный массив). Кроме того, вектор можно рассматривать как матрицу, состоящую из одного столбца, а матрицу - как набор столбцов-векторов.
По умолчанию элементы вектора и строки матрицы нумеруются сверху вниз, а номера столбцов слева направо, начиная с 0.
Обработка матриц управляется кнопками палитры “Matrix”, которая вызывается при нажатии кнопки
на главной палитре:Matrix
Рисунок 8
| 1 – создание вектора или матрицы 2 - создание индекса элемента 3 – вычисление обратной матрицы 4 - модуль вектора или матрицы 5 – операция векторизации 6 – выделение столбца матрицы | 7 – транспонирование матрицы 8 – шаблон диапазонной переменной 9 – скалярное произведение векторов 10 – векторное произведение векторов 11 – суммирование элементов вектора 12 – графическое отображение величины элементов матрицы |
Определить вектор или матрицу явным образом - значит указать место в документе, записать нужное имя матрицы, команду присваивания и вставить шаблон матрицы. Затем шаблон заполняется числами.
Имя:= Шаблон
Вставить шаблон матрицы можно несколькими способами:
-Или выбрать в меню <Вставить>-<Матрица>
-Или нажать клавиши [Ctrl]+[M]
-Или щелкнуть по кнопке 1 палитры «Matrix»
На экране появится окно диалога, в котором нужно указать количество строк (Rows) и столбцов (Columns). Для вектора Rows обозначает количество элементов, а Columns=1.
 | Шаблон  | ─┐[Tab]<─┘ |
Переход к следующей ячейке выполняется при нажатии клавиши [Tab] или клавишами управления курсором.
Отдельный элемент вектора или матрицы обозначается нижним индексом. Переход в режим набора индекса: или клавиша “[“, или кнопка 2 палитры «Matrix», возврат в основной уровень - клавиша «Пробел». Для элемента матрицы указывают в индексе номер строки и номер столбца через запятую. (Например, нажатие клавиш M[1,2 дает в документе M1,2).
Отдельный элемент вектора или матрицы используется как обычная переменная: его значение можно вывести на экран, ему можно присвоить новое значение, его значение можно использовать в вычислениях. Например:
| набрать на клавиатуре: | Res[1= W2a[2,2= z:Res[2 + 3*W2a[1,1 |
| вид на экране: |  |
Неявный способ определения вектора или матрицы состоит в определении отдельного элемента. Как только определяется хотя бы один элемент нового вектора или матрицы, то его номер автоматически считается максимальным, и все предыдущие элементы считаются равными 0. Таким способом можно изменить размер и существующих матриц.
Неявный способ можно использовать и для вычисления всех элементов, если задать выражение, в котором используется диапазонная переменная, логически соответствующая номеру элемента
Зачастую бывает нужно вычислить вектор значений аргумента и вектор значений функции
при этом имена вектора и функции должны быть различными.
Еще один способ получения вектора - рекуррентные вычисления - когда новая компонента вектора вычисляется через предыдущие.
Пример: Последовательность чисел Фибоначчи
Новые векторы или матрицы можно определять также как результат выполнения математических действий над известными на данный момент матрицами и векторами, например:
w:=v1+v2 M:=m1*m2
Если указано только имя вектора, он обрабатывается как единый объект по правилам векторной алгебры.
После определения вектора или матрицы их можно обрабатывать как самостоятельные элементы, указывая только имя, или же изменять отдельные элементы (указывается индекс – номер элемента).
Примечания:
1) В физических задачах все элементы вектора или матрицы должны иметь одинаковую размерность или быть безразмерными.
2) Для изменения начального номера следует переопределить встроенную переменную ORIGIN.
3) Структуру вектора можно использовать для одновременного определения нескольких переменных.
4) Матричную структуру могут иметь и функции пользователя.
Результат вычислений можно сохранять как вектор
или как вектор отдельных переменных
В качестве параметра можно использовать число, вектор, матрицу или другую функцию.
4.2 Математические операции над векторами и матрицами.
Произвольный вектор будем обозначать именем V, а матрицу - именем M.
| Математическая операция и ее обозначение | Кнопка палиты “Matrix” | Набрать на клавиатуре | Шаб-лон | Вид в документе (заполненный шаблон) |
| Вставка шаблона матрицы в документ | 1 | Ctrl+M | ||
| Отдельный элемент вектора, матрицы | V[ M[ |   |   | |
| Модуль вектора |V| | |V |  |  | |
| Скалярное произведение (V1∙V2) | V1*V2 |  | V1∙V2 | |
| Векторное произведение  | V1 Ctrl+* V2 |  |  | |
| Определитель матрицы detM | |M | |▪| | |M| | |
| Степень квадратной матрицы | M^n | Mn | ||
| Обратная матрица M-1 | M^-1 |  | M-1 | |
| Транспонированная матрица MT | M Ctrl+1 | MT | ||
| Выделение столбца матрицы | M Ctrl+6 |  |  |
Примечание. Векторное произведение определено только для трехэлементных (трехмерных) векторов 3-мерного пространства.
Пример выполнения операций над векторами и матрицами:
При выводе на экран матриц большого размера выводится часть матрицы, причем остальные элементы можно просмотреть с помощью полос горизонтальной и вертикальной прокрутки. Изменяя размеры блока, можно получить нужное число строк и столбцов.
Операция векторизации. Во многих случаях бывает необходимо вычислить функцию, параметром которой является числовая переменная, от каждого элемента вектора или матрицы, например:
; 
; 
.Последовательное перечисление всех элементов громоздко, поэтому в среде МС введено понятие векторизации функции, смысл которого заключается в вычислении функции от каждого элемента вектора или матрицы.