Решение матричных уравнений Базисный минор Ранг Действия над матрицами (стр. 2 из 3)

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица

.

Матрицей союзной или присоединенной к матрице

называется матрица

,

где

алгебраические дополнения элементов

данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице

алгебраические дополнения к элементам -ой строки расположены в -ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть

.

Теорема 2. Матрица

имеет обратную

только в том случае, если она невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы

существует обратная , тогда . Отсюда следует, что

,

иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная

.

Доказательство. Пусть

имеет две обратные матрицы и . Тогда

и .

Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная

.

Докажем эту теорему, вычисляя

. Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу , элементы которой находятся по формуле

.

В полученном выражении, если

, то . Действительно, похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.

Итак, если

, то . Если же , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,

Но

определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно, и .

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим

(он должен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу

;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на

.

3. Решение матричных уравнений

Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида

, где , , , - некоторые матрицы, причем - неизвестная. Для нахождения , прежде всего, необходимо перенести вправо: . Затем, пользуясь тем, что , умножим равенство на :

.

При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при

. Если уравнение имеет вид , то

.

Если же уравнение имеет множители при

с обеих сторон

(

), то .

4. Базисный минор и ранг матрицы

Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Определение 1. Строки

,

,...,

называются линейно зависимыми, если существуют числа

, не все равные нулю, такие что справедливо равенство

.

Здесь 0 - нулевая строка.

Определение 2. Строки

называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что

.

В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.

Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы строки

были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбито на две теоремы).

Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы.

Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1.

Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка

: