Решение матричных уравнений Базисный минор Ранг Действия над матрицами (стр. 3 из 3)

.

Определение 3. Минором

-го порядка матрицы

называется определитель

-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых

строк и

столбцов матрицы

.

Определение 4. В матрице

, порядка

, минор порядка

называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка

равны нулю или миноров порядка

вообще нет, то есть

совпадает с меньшим из чисел

или

.

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка.

Определение 5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора. Обозначается ранг матрицы -

. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными.

Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы

являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов.

Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме.

Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор

-го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:

.

По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:

.

Здесь

, разделим на него все равенство:

Из полученного выражения следует, что

-ая строка является линейной комбинацией базисных строк.

Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления

.

Литература

1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. - 736с.

2. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. - 200с.

3. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.

4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966.

7. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.