При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).
При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].
14. ГИПЕРБОЛА, ЕЕ ГРАФИК.
Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.
Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :
Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.
Отрезок F1F2 = 2 с , где
, называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы. Пусть Р ( х1 , у 1 ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:
Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :
k 2 = m 2 a 2 – b 2 .
15. ОПРЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ.
Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки
определена функция 
Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует, 
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0:
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
16. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.
В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.
Таблица производных, производные основных элементарных функций (20 шт)
Правила дифференцирования общих функций
(известно как «правило Лейбница») 
— Правило дифференцирования сложной функции 
17. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.
Производная сложной функции:
Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.
Определение. Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Рассмотрим функцию y = sin x2. Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x2; 2) найти значение синуса от полученного значения x2. Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x2, а потом найти sin g(x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)). В нашем примере u = g(x) = x2, а y = f(u) = sin u.
Пусть y = f(g(x)) - сложная функция, причем функция u = g(x) дифференцируема в точке x , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция y = f(g(x)) дифференцируема в точке x, причем y
=f (g(x)) 
g (x). Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f'(x), но вместо x подставляется g(x). 
18. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ.
Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.
Наиболее часто используются в экономике следующие функции:
1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
18. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ
В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.
Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.
Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную 
.
Нахождение производительности труда. Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время
D t = t 1 - t 0 : D u = u(t 1 ) - u(t 0 ) = u(t 0 + D t) - u(t 0 ). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= D u/ D t.
Производительностью труда рабочего z(t 0 ) в момент t 0 называется предел, к которому стремится z ср. при D t ® 0: 
. Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t 0 ) = u'(t 0 ).
Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на D х . Количеству продукции x+ D х соответствуют издержки производства K(x + D х). Следовательно, приращению количества продукции D х соответствует приращение издержек производства продукции D K = K(x + D х) - K(x).