Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 10 из 21)

Производную функции

, заданной параметрически, можно выразить через производные функций

и

: поскольку

и, по формуле производной обратной функции,

, то

где

- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение

.

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между

и

, снова выраженной в виде параметрической зависимости:

,

; второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции

. Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра .

Билет 14:

Вопрос 1: Определение окружности. Вывод уравнения:

Определение: Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема: Окружность радиуса

с центром в точке имеет уравнение

(1)

Доказательство. Пусть

-- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (рис. 12.1)

Рис.12.1.Окружность

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (1).

Если в уравнении (1) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (1). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным

и

.

Вопрос 2: Логарифмическое дифференцирование:

Если требуется найти

из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где

есть сложная функция от х,

.

в) заменить

его выражением через х

.

Билет 15:

Вопрос 1: Определение эллипса. Вывод уравнения:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

эллипс - это кривая, получающаяся как проекция на плоскость

окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью .

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть

и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 1).

Теорема 1: Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна

, а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

(1)

где

(2)

Доказательство. Пусть

-- текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника (рис. 12.3) видно, что , то есть , , и поэтому число существует.

Рис.1.

Фокусами в выбранной системе координат являются точки

, . По формуле для плоского случая находим

Тогда по определению эллипса

Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат