Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 11 из 21)

Раскроем скобку и приведем подобные члены

Учитывая, что

, имеем равенство

Наконец, разделив обе части на

, получим уравнение (3).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипса.

Рис.2. Эллипс

Вопрос 2: Теорема Ферма:

Теорема: Пусть функция

имеет на множестве

точку экстремума , причём множество

содержит некоторую

-окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

Геометрический смысл: Заметим, что условие

означает, что тангенс угла

наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0. Отсюда

, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Доказательство теоремы Ферма. Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная

существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке

максимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . При вычислении производной мы переходим к пределу при

в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

Аналогично, при

, , и поэтому . Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:

Итак, выполняются два неравенства:

и , что возможно лишь при

Пусть теперь функция

имеет в точке минимум. Тогда при всех , поскольку . Если взять , то , и поэтому . Переходя к пределу при в разностном отношении, получаем:

Аналогично, при

, , и поэтому . Вычисляя предел слева, получаем:

Из неравенств

и получаем, что .

Билет 16:

Вопрос 1:Определение гиперболы. Вывод уравнения:

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами

y M(x, y) b r1 r2 x F1 a F2 c По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

Обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Вопрос 2: Теорема Ролля:

Теорема: Пусть функция

дифференцируема на интервале , непрерывна в точках

и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Замечание: Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями

дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка , такая что ). Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально.