Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень - единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.
Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной
Геометрический смысл:
Если крайние ординаты равны, то внутри найдется точка, в которой касательная будет параллельна оси абсцисс.
Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке , то она принимает своё максимальное значение
и минимальное значение в некоторых точках и этого отрезка.Рассмотрим два случая. Если
, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке : . Значит, при всех , и в качестве в этом случае можно взять любую точку интервала .Если же , то либо
, либо отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка и , то есть лежит внутри интервала . Пусть, для определённости, - внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма, , поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке . Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда .Билет 17:
Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
О F x
p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Вопрос 2: Теорема Коши:
Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при
и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , чтоГеометрический смысл: Данные теоремы состоят в том, что внутри есть точка t0, угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:
Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию
Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках
и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и :
Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .
Вычислим теперь производную функции :
Получаем, что
откуда получаем утверждение теоремы:
Замечание: Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию
, соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .)