Смекни!
smekni.com

Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 12 из 21)

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень

- единственный корень производной на интервале
; на этом интервале может находиться несколько корней производной.

Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной

Геометрический смысл:

Если крайние ординаты равны, то внутри

найдется точка, в которой касательная будет параллельна оси абсцисс.

Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция

непрерывна на отрезке
, то она принимает своё максимальное значение

и минимальное значение
в некоторых точках
и
этого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если

, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке
:
. Значит,
при всех
, и в качестве
в этом случае можно взять любую точку
интервала
.

Если же

, то либо

, либо
отлично от 0 и, следовательно, либо точка
, либо точка
не совпадает с концами отрезка
и
, то есть лежит внутри интервала
. Пусть, для определённости,
- внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма,
, поскольку по предположению доказываемой теоремы,
имеет производную во всех точках интервала
и, следовательно, в точке
. Итак, в этом случае точку
можно взять в качестве искомой точки
: тогда
.

Билет 17:

Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x


p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Вопрос 2: Теорема Коши:

Теорема: Пусть функции

и
дифференцируемы на интервале
и непрерывны при

и
, причём
при всех
. Тогда в интервале
найдётся такая точка
, что

Геометрический смысл: Данные теоремы состоят в том, что внутри

есть точка t0, угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:

Доказательство. Докажем сначала, что

, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

при некотором
. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию

Функция

, очевидно, является дифференцируемой при всех
и непрерывной в точках

и
, поскольку этими свойствами обладают функции
и
. Кроме того, очевидно, что при
получается
. Покажем, что и
:

Значит, функция

удовлетворяет на отрезке
условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка
, что
.

Вычислим теперь производную функции

:

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

Замечание: Можно считать функции

и
координатами движущейся на плоскости
точки, которая описывает линию

, соединяющую начальную точку
с конечной точкой
.(Тогда уравнения
и
параметрически задают некоторую зависимость
, графиком которой служит линия
.)