Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 14 из 21)
Билет 19:
Вопрос 1: Действия с матрицами:
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij bij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
(А+В) =А В А() = А А Пример. Даны матрицы А = 
; B = 
, найти 2А + В. 2А = 
, 2А + В = 
.Элементарные преобразования
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Вопрос 2: Правило Лопиталя:
Теорема: (Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших). Пусть 
и 
при 
и в некоторой проколотой окрестности 
, 
, существуют производные 
и 
. Тогда, если существует предел отношения этих производных 
то существует и предел отношения самих функций, равный тому же числу:
Доказательство. Докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть
где
- некоторое число. Докажем, что тогда 
.Рассмотрим вспомогательные функции
и
Тогда функции 
и 
- бесконечно малые при , непрерывные при 
; их производные таковы:
Заметим теперь, что при
и
Из равенства получаем, что 
. Переходя к пределу в равенстве, получаем:
С другой стороны, применяя правило Лопиталя к бесконечно малым функциям и , получим:
откуда
Из этого равенства следует, что
, что и требовалось доказать.Замечание: Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах 
и 
); сделав замену 
, выведем, что оно верно для пределов при базах
, 
и 
Замечание: Как и в основном случае отношения двух бесконечно малых при
, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин.Билет 20:
Вопрос 1: Нахождение обратной матрицы:
Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать: AX = E
, i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i j, eij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений: 
, Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.Пример. Дана матрица А =
, найти А-1. 
Таким образом, А-1= 
. Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу: 
, где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.Пример. Дана матрица А =
, найти А-1. det A = 4 - 6 = -2. M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2 Таким образом, А-1= .