Вопрос 2: Производные высших порядков:
Если функция дифференцируема при всех
, то мы можем рассмотреть функцию
, сопоставляющую каждой точке
если эта производная существует.
При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами:
или
; при прочих
Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений
в момент времени
Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции.
Билет 21:
Вопрос 1: Определители второго и третьего порядка:
Определитель квадратной матрицы
Определение: Определителем квадратной матрицы
где
Замечание 1: Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам.
Замечание 2: определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка
Замечание 3: В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение
Вопрос 2: Исследование участков монотонности функции:
Признак монотонности функции: Функция f(x) не убывает и не возоастает на промежутке X, если для любых X1, X2
f(x1)≤f(x2) или f(x1)≥f(x2).
Если для тех же X из условия X1 < X2 следует неравенство f(x1)<f(x2) или f(x1)>f(x2), то функция f(x) называется возрастающей или убывающей на промежутке Х.
Теорема: Если функция дифференцируема на (a;b) и f’(x)≥0 или f’(x)≤0 на (a;b), то функция f(х) не убывает или не возрастает на (a;b).
Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).
Билет 22:
Вопрос 1: Основные свойства определителей:
Свойство1: При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть
Свойство 2: Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть
Свойство 3: Если в матрице
Свойство 4: Если матрица
Свойство 5: Если строку матрицы умножить на число