Смекни!
smekni.com

Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 17 из 21)

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при

, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая
является горизонтальной асимптотой графика
при
или
, если
или
соответственно.

Определение: Линия

называется асимптотической линией графика функции
при
(или при
), если обе эти функции определены на некотором луче
(или луче
) и разность ординат графиков стремится к 0 при
(или при
, соответственно).

Если функция

- линейная, то есть график
- наклонная прямая, то асимптотическая линия - это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

Замечание: Функции

и
входят в определение асимптотической линии симметрично: если график
- асимптотическая линия для графика
, то и
- асимптотическая линия для
. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.

Вернёмся к наклонным асимптотам - прямым линиям с уравнением

. Для их нахождения в тех случаях, когда значения

и
не очевидны, можно применять следующую теорему.

Теорема: Прямая

служит наклонной асимптотой для графика
при
(или при
) в том и только том случае, когда

и

(соответственно, если

и

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится

) асимптоты достаточно найти два указанных предела
и, затем,
. Прямая
будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

Доказательство теоремы. Докажем теорему в случае

; доказательство при
проводится совершенно аналогично.

Условие, задающее асимптоту, в виде

Так как первый множитель

, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

Но

и
, так что

откуда следует равенство. Теперь число

уже известно.

Подставляя это число в формулу, находим, что

откуда следует равенство.

Замечание: Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при

и при
для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.

Замечание: Если график

имеет асимптоту
(например, при
) и существует предел производной:

то

. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная

не имеет никакого предела при
. Дело в том, что значения
могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.

Билет 24:

Вопрос 1: Собственные числа и собственные векторы матрицы:

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор

L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:

A

.

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору

.

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе

,
,…,
имеет матрицу А =
, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна

. Тогда преобразование А может быть задано формулами: