Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 17 из 21)
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при
, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая 
является горизонтальной асимптотой графика 
при 
или 
, если 
или 
соответственно.Определение: Линия
называется асимптотической линией графика функции 
при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче 
(или луче 
) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно). Если функция
- линейная, то есть график - наклонная прямая, то асимптотическая линия - это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.Замечание: Функции
и входят в определение асимптотической линии симметрично: если график - асимптотическая линия для графика , то и - асимптотическая линия для . На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен. Вернёмся к наклонным асимптотам - прямым линиям с уравнением
. Для их нахождения в тех случаях, когда значения 
и 
не очевидны, можно применять следующую теорему.Теорема: Прямая
служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда 
и 
(соответственно, если
и 
Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится
) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.Доказательство теоремы. Докажем теорему в случае
; доказательство при проводится совершенно аналогично. Условие, задающее асимптоту, в виде
Так как первый множитель
, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть 
Но
и 
, так что 
откуда следует равенство. Теперь число
уже известно.Подставляя это число в формулу, находим, что
откуда следует равенство.
Замечание: Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при
и при для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.Замечание: Если график
имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной: 
то
. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная
не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером. Билет 24:
Вопрос 1: Собственные числа и собственные векторы матрицы:
Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор
L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:A
.При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору
.Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе
, 
,…, 
имеет матрицу А = 
, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n уравнения: 
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна
. Тогда преобразование А может быть задано формулами: