Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 18 из 21)

;

в некотором базисе

.

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А

.

или

Т.к. собственный вектор

ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор

(х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения .

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если

- собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением .

Вопрос 2: Общая схема исследования функции:

Пусть дана функция f(x). Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения

. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений

. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения

откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси

), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента

к граничным точкам области определения

, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

4). Если область определения

вклоючает в себя лучи вида

или

, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при

или

соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью

(если

). Для этого нужно вычислить значение

. Найти также точки пересечения графика с осью

, для чего найти корни уравнения

(или убедиться в отсутствии корней). Уравнение

часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции

(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной

.

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной

. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Билет 25:

Вопрос 1: Система линейных уравнений. Матричная форма записи:

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

, (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А =

называется матрицей системы, а матрица А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

Вопрос 2: Определение функции нескольких переменных. Линии уровня. Область определения:

Определение: Пусть X, Y, Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называет множество f упорядоченных троек чисел (x;y;z), таких, что х принадлежит Х, у принадлежит У, z принадлежит Z и каждая упорядоченная пара чисел (х;у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит по крайней мере в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х;у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f(x;y). Число z называется значением функции f в точке (х;у). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные х и у – независимыми переменными (аргументами); множество {(x;y)} – областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.

Примеры функций двух переменных:

1. z=x²+y². Область определения этой функции – множество {M} всех пар чисел (х;у), то есть вся плоскость Оху, а множество значений – промежуток Z=[0,
   ).
2. . Область определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение
   определенно, то есть множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству x²+y²-1>0 или x²+y²>1. Это множество точек, лежащих вне круга радиуса R=1 с центром в начале координат, а множество значений функции представляет собой промежуток Z=([0,
   ).

Аналогично можно дать определение функции трёх переменных u=f(x;y;z), четырех переменных u=f(x;y;z;t) и вообще n переменных u=f(x₁;x₂;...;x_n).

Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y), то есть сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.