Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 19 из 21)
Определение: назовем линии уровня функции z=f(x;y) множество точек (х;у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Очевидно, при различных с получаются различные линии уровня для данной функции.
Билет 26:
Вопрос 1: Формула Крамера:
Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера): Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/, где = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi. i = 
Вопрос 2: Частные производные первого порядка для функции нескольких переменных:
Частные производные первого порядка
Пусть задана функция Z = f(x,y). Для простоты будем предполагать существование функции в некоторой окрестности рассматриваемой точки M(х,у).
Рассмотрим отношение частного приращения DxZ = f(x+Dx,y)-f(x,y) по переменной х к приращению Dх, т.е.
(13.1)Теперь устремим Dх ® 0. Если предел в (13.1) существует, то назовем его частной производной (первого порядка) функции Z = f(x,y) по х и будем обозначать
,т.е.
.Аналогично
.Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю.
Заметим, что если от функции Z = f(x,y) берется производная
, то у считается постоянным; если же находится 
, то х - постоянной. Поэтому частная производная функции нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными, т.е. 
, где у - const и т. д.Тогда
; 
; 
.Геометрический смысл частных производных
Пусть Z = f(x,y);
; 
.Изобразим Z = f(x,y) - получим некоторую поверхность.
Рис. 13.1.
Возьмем точки М(х,у,z), N(x,y,0) - проекция точки М на плоскость ХоУ. Полагая у - const, мы получаем плоскую кривую Гx , представляющую собой сечение поверхности w соответствующей плоскостью, параллельной Оxz. Пусть МК - касательная к кривой Гx в точке М(х,у,z) и a - угол, образованный с положительным направлением оси Ох. Так как
,на основании смысла обычной производной имеем
, аналогично 
.Билет 27:
Вопрос 1: Метод Жордана - Гаусса:
Метод Жордана - Гаусса является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана
Применяется для систем любого вида.
Система называется с базисом, если в каждом её уравнении присутствует неизвестное с коэффициентом +1, и она не присутствовала в других уравнениях (k=0), остальные переменные называются свободными.
Метод Жордана - Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований, в результате чего получается эквивалентная система базисов.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:
- Записываем все данные в таблицу, слева коэффициенты, а справа правые части. И выбираем ключевой элемент. Его можно выбирать только из коэффициентов неизвестных неравных 0.
- Преобразуем ключевую строку. Для этого все числа строки делим на выбранный ключевой1 элемент.
- Преобразуем не ключевые строки. Из каждого числа проводи два перпендикуляра, числа на концах перпендикуляров умножаем и полученное произведение вычитаем из выбранного числа.
- Появление нулевой строки. Что говорит о том, что данное уравнение было следствием других, и нулевую строку вычеркиваем.
- Окончание преобразования. Возможны случаи:
- Если количество выбранных ключевых элементов равно числу строк, то есть числу уравнений, то данное уравнение имеет единственное решение.
- Если число ключевых элементов меньше числа переменных, то данная система уравнений имеет бесконечное множество решений.
- Если в результате преобразований получилась строка, на месте коэффициентов 0, а в правой части число, то это говорит о том, что система решений не имеет, то есть несовместна.
Рассмотрим пример:
| X1 | X2 | X3 | bi | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 4 | 2 | 1 | 1 | |
| 9 | 3 | 1 | 3 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 3 | 1 | 0 | 1 | |
| 8 | 2 | 0 | 2 | |
| -2 | 0 | 1 | -1 | |
| 3 | 1 | 0 | 1 | |
| 2 | 0 | 0 | 0 | /2 |
| 0 | 0 | 1 | -1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Ответ:
X1=-1
X2=1
X3=0
Вопрос 2: Частные производные высших порядков:
Пусть функция z=f(M) имеет частные производные fx’(x;y) и fy’(x;y) (они называются частными производными первого порядка) в каждой точке некоторой окрестности точки М. Если fx’(x;y) и fy’(x;y) имеют в точке М частные производные по переменным х и у, то они называются частными производными второго порядка от функции f(M) в этой точке и обозначаются следующими символами:
Частные производные второго порядка вида 
, 
называются смешанными частными производными.
Частные производные третье порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и так далее.
Билет 28:
Вопрос 1: Линейная балансовая модель:
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
Линейная балансовая модель:
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление конечный продукт, а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции первый столбец таблицы 1 и как ее потребитель первая строка таблицы 1 .
Обозначим через xi валовый выпуск продукции iй отрасли за планируемый период и через yi конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. .
Таким образом, разность xi yi составляет часть продукции iй отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через xik часть продукции iй отрасли, которая потребляется kй отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.