Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 2 из 21)
Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Теорема 3: предел произведения сомножителей равен произведению их пределов
Теорема 4: предел отношения двух функций, если предел
, равен отношению их пределов: 
Билет 3:
Вопрос 1: Деление отрезка в заданном отношении на плоскости и в пространстве.
1). На плоскости:
Задан отрезок MN, который требуется разделить в отношение
, при M(x1;y1), N(x2;y2), K(x;y). 
= 
(1+
)Х = Х1+ λ Х2 
2). В пространстве:
Найти координаты точки М, при М1=(x1,y1,z1), М1М=λ∙ММ2, М2=(x2,y2,z2) можно по формулам:
.Вопрос 2: Непрерывность функции. Точки разрыва:
Непрерывность функций:
Функция f(x), определенная в точке a, называется непрерывной в этой точке, если
 |
По аналогии с понятием одностороннего предела вводятся понятия функции, непрерывной в точке a слева и справа. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.
Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:
1). Функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;
2). Функция не определена в данной точке.
Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B.
Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.
Теорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка
(и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.Точки разрыва функции
Функция является непрерывной в точке, если -
= 
.Определение 1. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.
Определение 2. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют односторонние конечные в этой точке.
Определение 3. Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если односторонние пределы в этой точке равны.
Определение 4. Скачком функции в точке разрыва первого рода называется модуль разности односторонних пределов в этой точке.
Определение 5. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +¥(-¥)).
Билет 4:
Вопрос 1: Определение вектора. Действия с векторами:
Определение вектора
Определение: Вектором называется направленный отрезок.
Вектор - это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.
В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов:
. В двух последних случаях 
- обозначение точки, являющейся началом вектора, 
- концом вектора. 
Рис.10.1.Изображение векторов
Определение: Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.
Определение: Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.
Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Определение: Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.
Модуль вектора a обозначается
. Вектор a называется единичным, если 
.К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.
Определение: Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю (рис. 10.2).
Рис.10.2.Сложение векторов
Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.
Рис.10.3.Правило треугольника
Определение: Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и
.Вектор, противоположный вектору a, обозначается
, то есть 
.Определение: Разностью векторов a и b называется сумма
.Разность обозначается
, то есть 
.Определение: Произведением вектора a на вещественное число
называется вектор b, определяемый условием1)
и, если 
, то еще двумя условиями:2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направлены одинаково, если
, и противоположно, если 
.Произведение вектора a на число
обозначается 
(рис 1.4). 
Рис.10.4.Умножение вектора на число
Замечание: Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами.
Теорема: Для любых векторов
и любых вещественных чисел 
выполняются следующие свойства: 1)
(свойство коммутативности операции сложения); 2)
(свойство ассоциативности операции сложения); 3)
; 4)
; 5)
(свойство ассоциативности по отношению к числам); 6)
(свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число); 7)
(свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор; 8)
.