Таблица 1
потребление итого на конечный валовый
отрас. внутре продукт выпуск
производ. уi хi
1 2 k n потребление
отрас. хik
1 х11 х12 х1k х1n х1k у1 х1
2 х21 х22 х2k х2n х2k у2
Вопрос 2: Градиент:
Определение: Градиентом функции z=(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и , взятым в точке М(х;у).
Обозначение: gradz= .
Для трех переменных функции u=f(x;y;z) градиент будет: gradu(ux’(M0);uy’(M0);uz’(M0))
Градиенты используются в задачах оптимизации, так как градиент направление наискорейшего роста функции.
Билет 29:
Вопрос 1: Определение ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли:
Определение: Пусть дана матрица
размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .Пример: Пусть
.Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, -5,-4 - миноры первого порядка.
Миноры второго порядка:
возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор
;возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор
;возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор
Миноры третьего порядка: строки здесь можно выбрать только одним способом, возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор
;возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор
.Свойство 1:Если все миноры матрицы
порядка равны нулю, то все миноры порядка , если такие существуют, тоже равны нулю.Свойство 2: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть
.Свойство 3: Пусть ранг матрицы равен
. Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.Свойство 4: Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.
Свойство 5: Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.
Свойство 6: Предложение 14.25 Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.
Свойство 7: Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему.
Свойство 8: Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему.
Свойство 9: Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).
Свойство 10: При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Теорема Кронекера – Капели: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A =
~
. RgA = 2.A* =
RgA* = 3.Система несовместна.
Вопрос 2: Производная по направлению:
Пусть z=f(M) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(х;у);
={соs ;cos ) – единичный вектор; L – направленная прямая, проходящая через точку М; М1(х+ ;у+ ) - точка на прямой L; - величина отрезка ММ1; - f(x;y) – приращение функции f(M) в точке М(х;у).
Определение: Предел отношения при
(М1 М), если он существует, называется производной функции z=f(M) в точке М(х;у) по направлению вектора и обозначается , то есть .Если функция f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то в точке М(х;у) существует производная по любому направлению
, исходящему из М; вычисляется по следующей формуле: , где соs и cos - направляющей косинусы вектора .Билет 30:
Вопрос 1: Определение функции. Способы задания функции:
Отображе́ние или фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.
Способы задания функции:
у равен целой части от х. (
)С помощью графика.
Функция задается таблицей значений