Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 21 из 21)

Максимум и минимум функции нескольких переменных

Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).

В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.

Определение: Максимумом (строгим) функции f (x,y) называется такое значение f(x1,y1) этой функции, которое больше всех ее значений f(x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х1, у1). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Определение: Минимумом (строгим) функции f (x,y) называется такое значение f (x2,y2), которое меньше всех ее значений f (x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О (х2, у2).

Максимум или минимум функции f (x,y) называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).

Аналогично определяется экстремум функции f (x,y,z) и т.д.

Теорема: (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть u = f (x,y) и f (x_o,y_o) - ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = у_о, тогда получим функцию одной переменной U1 = f (x, y_o), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = х_о. Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной, получаем, что

или не существует.

Пусть теперь у=у_о, а х_о- фиксируем, тогда

или не существует.

Следствие: В точке экстремума Мо (хо, уо) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства

Для U = f(x, y, z) в точке Мо (хо ,уо, zо) будет выполнено условие

.

Замечание: Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической.

Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.

Абсолютный экстремум

Определение: Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).

Теорема: (Вайерштрасс) Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Теорема: Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Билет 31:

Вопрос 1: Преобразование графиков функции:

Преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или её аргумента вида y = αf(γx + δ) + β. Применяется также для обозначений операций с использованием модуля.

Общий вид функции	Преобразования
y = f(x − a)	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | a | единиц вправо, если a > 0; влево, если a < 0.
y = f(x) + a	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | a | единиц вверх, если a > 0, вниз, если a < 0.
y = f( − x)	Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = − f(x)	Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
y = f(kx)	При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)	При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 — сжатие графика к оси абсцисс в k раз.
y = | f(x) |	При y > 0 — график остаётся без изменений, при y < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )	При — график остаётся без изменений, при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.

Вопрос 2: Метод наименьших квадратов:

В различных исследованиях по данным результатов исследований, часто возникает необходимость построения эмпирических формул, составленных по этим наблюдениям.

Одним из наилучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов.

Пусть по результатам опыта нам нужно установить зависимость между двумя величинами х и у, где, например,

х - стоимость строительства объекта;

у - накладные расходы.

По результатам наблюдения составим таблицу:

Xi	x1	x2	x3	...	xn
Уi	y1	y2	y3	...	yn

Нужно теперь установить функциональную зависимость у = f(x).

Нанесем результаты наблюдений на координатную плоскость.

В данном случае естественно предположить, что зависимость линейная (т.е. все точки расположены около прямой).

Т.е. у = ах + b (*)

где а и b - некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Представим (*) в виде ах + b - y = 0 (**)

Так как точки лежат приблизительно на этой прямой, то эта зависимость приближенная. И, если подставить точки наблюдений в (**), то получим равенства:

(15.2),

где числа ei (i=1¸n) называются погрешностями и, вообще говоря, не равные нулю.

Способ наименьших квадратов состоит в том, что нужно подобрать а и b таким образом, чтобы ei были бы по возможности малыми по абсолютной величине, а лучше сказать, чтобы сумма квадратов погрешностей была бы минимальной. Т.е. потребуем, чтобы

(15.3),

тогда S(a,в) можно рассматривать как функцию двух переменных по а и b и можно ее исследовать на экстремум ( определить минимум), т.е.

.

(15.4)

Приравняем эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b :

(15.5)

Система (15.5) называется нормальной системой способа наименьших квадратов.

Решая эту систему относительно а и b, находим числа а и b и затем подставляем их в (*).

Пример:

Пусть имеем результаты наблюдений:

Xi	-2	0	1	2	4
Уi	0.5	1	1.5	2	3

Определим а и b в уравнении у = ах +b

Нормальная система

.

Тогда у = 0,425х + 1,175.