Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 4 из 21)

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов

и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов

и и любого числа λ справедливы равенства:

1. причем
   
2. (переместительный закон).
3. (распределительный закон).
4. (сочетательный закон).

Вопрос 2: Свойства непрерывных функций:

Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема (локальные свойства непрерывных функций).

1. Пусть функция f:E R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).
3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) 0 ) непрерывны в точке a.
4. Если функция g(x):Y R непрерывна в точке b Y, а функция f:E Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.

Глобальные свойства непрерывных функций

Определение (непрерывность функции на множестве): Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x) CX.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x) C[a,b].

Теорема (глобальные свойства непрерывных функций).

1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) C[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).

1. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19)

1. (Теорема Коши) Если f(x) C[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует c [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20).

Замечание.

1). Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.

2). Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Билет 6:

Вопрос 1: Векторное и смешанное произведение:

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением векторов

и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1)

, где  - угол между векторами и ,

2) вектор

ортогонален векторам и

3)

, и образуют правую тройку векторов. Обозначается: или . Свойства векторного произведения векторов:

1)

;

2)

, если  или = 0 или = 0;

3) (m

) = (m ) = m(  );

4)

( + ) =  +  ;

5) Если заданы векторы

(xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то  =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах

и .

Пример. Найти векторное произведение векторов

и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3) .

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

(ед2).

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов

, и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и . Обозначается или ( , , ). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .