Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 5 из 21)

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю; б)два из векторов коллинеарны; в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами

, и , равен

6)Если

, , то

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов: , Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Вопрос 2: Первый замечательный предел:

Определение: Первым замечательным пределом называется предел

Теорема: Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела

и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть

(этот интервал - одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть

- площадь треугольника , - площадь кругового сектора , а - площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки

равна , а вертикальная - (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на

) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при

предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что

. Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при

, получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной

показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену

; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,