и
Предположим, что она верна для
, и докажем, что тогда она верна и при . Действительно,При этом в квадратных скобках получается:
и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при
.Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность
и применим к формулу бинома Ньютона при и . ПолучимПокажем, что последовательность
ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , , ..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы увеличится:Далее, заменим все числа
в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна
Поэтому
что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3.
Покажем теперь, что последовательность
не убывает. Действительно, запишем формулу в видеВ аналогичной формуле, написанной для
вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемоеСледовательно, при росте номера
члены последовательности строго возрастают: при всех .Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности
теорему о пределе монотонной ограниченной функции и получим, что существует пределпричём число
не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве, не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы.Замечание: Можно также показать, что
однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.
В формуле можно сделать замену
, при этом база перейдёт в базу , и мы получимБилет 8:
Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:
Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j1 соотношением:
j = j1 или j = 1800 - j1, т.е. cos j = cosj1.
Определим угол j1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:
, где (A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: .Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
.Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:
// .Это условие выполняется, если: .Вопрос 2: Неопределенности и способы их раскрытия:
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
По таким выражениям сложно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Правило Лопиталя: раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞
Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть
или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем(1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.