Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 8 из 21)

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Билет 9:

Вопрос 1: Общее уравнение прямой на плоскости. Различные способы задания прямой:

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору

(3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х₁ ¹ х₂ и х = х₁, еслих₁ = х₂. Дробь

= k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить

, то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Вопрос 2: Определение производной. Геометрический и экономический смысл:

Определение: Рассмотрим y=f(x): производной функцией в фиксированной точке называется lim отношения приращения этой функцией в данной точке к бесконечно малому приращению аргумента.

(y’; ; )

Рассмотрим приращение функции y=f(x). Зафиксируем x=x₀

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная вычисляет в абсциссе точку касания, численно равную k.

y’=

=k

Экономический смысл производной: производная в экономическом смысле характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Билет 10:

Вопрос 1: Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости:

Из общего уравнения прямой на плоскости Оху Ax+By+C=0 получаем частные случаи, из двух таких случаев:

1). A

0, B=0. Ax+C=0, или x=a, a=

: эта прямая параллельна оси Оу и отсекает на оси Ох отрезок, имеющий величину а. При С=0 прямая совпадает с осью Оу

2). А=0, В

0. Ву+С=О, параллельна оси Ох, или у=b, b=

, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Следуют признаки параллельности и перпендикулярности прямых:

A₁A₂+B₁B₂=0

Если прямые заданны в форме у=kx+b с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ , то угол между ними вычисляется по формуле:

В этом случае условие параллельности прямых на плоскости будет k₁=k₂, а перпендикулярности k₁=

.

Вопрос 2: Уравнение касательной и нормали:

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Уравнение нормали к поверхности F(x;y;z)=0 в точке M₀(x₀;y₀;z₀) имеет вид:

Билет 11:

Вопрос 1: Каноническое уравнение прямой в пространстве:

Замечание 1: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 2: Это формальная запись и выражение вида

в данном случае допустимо.

Замечание 3: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

Вопрос 2: Правило дифференцирования:

Если функции f и g дифференцируемы в точке

то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Доказательство:

а)

По свойству предела суммы получаем

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: