Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 9 из 21)
Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки
причем 
то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем  |
Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x0, причем
 |
Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид
как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.Если f (x) – четная функция, то
– нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная.Пусть в окрестности точки t0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные
и 
Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем  |
Билет 12:
Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве:
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
Вопрос 2: Производная от сложной функции. Доказательство:
Теорема. Пусть сложная функция y=f( 
(x)) такова, что функция y=f(х0) определена на промежутке T, а функция t= 
(x) определена на промежутке X и множество всех ее значений входит в промежуток T. Пусть функция t= 
(x) имеет производную в каждой точке внутри промежутка X, а функция y=f(t) имеет производную в каждой точке промежутка T. Тогда функция y=f( 
(x)) имеет производную в каждой точке внутри промежутка, вычисляемую по формуле
.Доказательство:
Так как функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то приращение этой функции в точке х0 может быть записано в виде:
Где 
.
Поделив равенство (1) на
, получим: 
Равенство (2) справедливо для любых достаточно малых х.
Возьмём 
равное приращению функции x= 
, соответствующего приращению 
аргумента t в точке t0, и устремим в этом равенстве 
.
Так как по условию функция x= имеет в точке t0 производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывной функции в точке, 
при 
. Но тогда и 
также стремится к 0, то есть имеем
В силу соотношения (3) существует предел правой части равенства (2) при , равный
. Значит существует предел при 
и левые части равенства (2), который по определению производной равно производной сложной функции y=f[ 
] в точке t0, тем самым доказывается дифференцируемость сложной функции и устанавливается формула 
.Билет 13:
Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
Вопрос 2: Производная от неявной и параметрически заданной функции:
Производная функции, заданной неявно:
Уравнение вида 
, содержащее переменные
и 
, иногда можно разрешить относительно и получить в явном виде зависимость 
. Например, если дано уравнение 
, то из него можно получить зависимость 
. Однако такое явное выражение через , использующее лишь элементарные функции, можно получить не из любого уравнения вида (даже если в самом уравнении участвуют лишь элементарные функции).Покажем, как, используя уравнение , найти производную 
, не выражая через
в явном виде. Для этого найдём производные левой и правой части уравнения по переменной , считая промежуточным аргументом, а потом выразим 
из получающегося равенства.Производные функции, заданной параметрически:
Пусть задана зависимость двух переменных
и от параметра 
, изменяющегося в пределах от 
до 
: 
Пусть функция 
имеет обратную: 
. Тогда мы можем, взяв композицию функций 
и 
, получить зависимость от
: 
. Зависимость величины от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде 
, называется функцией , заданной параметрически.