Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 1 из 21)
Высшая Математика. (1 семестр).
Билет 1:
Вопрос 1:Прямоугольная и полярная системы координат:
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу с общим началом координат О и одинаковой масштабной единицей составляют прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости Оху. Эти оси называются осями координат, ось Ох – осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.
Разместим в пространстве координатную плоскость Оху так, чтобы ось ординат Оу лежала в плоскости чертежа и была направлена вправо, а ось Ох была направлена вниз и была перпендикулярна осям Оу и Оz. Из точки О – начала координат – перпендикулярно Оху вверх проведем ось Оz – ось аппликат. Если на всех осях взять одинаковую масштабную единицу, то получаем прямоугольную декартову систему координат в пространстве Охуz. Оси Ох, Оу, Оz называются координатными плоскостями.
Полярная система координат.
Проведем из точки О – полюса – луч, который является полярной осью.
Положение любой точки на плоскости определяется парой чисел. Угол
, на который нужно повернуть прямую О, чтобы она совпала с точкой М (поворот против чисовой стрелки). Полярный радиус – это длина отрезка ОМ.М (
; 
), при этом 0 
2П, а 0 
+ 
.Совместим прямоугольную систему координат с полярной так, чтобы её начало совпадало с полюсом, а полярная ось - с осью абсцисс.
x =
cos 
y =
sin x2 +y2=
2(cos2 +sin2 ) 
tg
Вопрос 2: Определение предела функции:
Определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное (
или 
), от которого зависит изменяющаяся величина ( 
или 
). В случае условия 
эти множества имеют вид 
; в случае 
- вид 
; в случае 
- вид 
. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний - базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, , 
, и т. п.Таким образом,
Итак, база предела - это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если
и 
- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание 
, которое содержится в каждом из первых двух: 
.Определение: Пусть
- некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания 
базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний 
). Число 
называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается 
если для любого (сколь угодно малого) числа 
найдётся такое окончание 
базы , что при всех 
выполняется неравенство 
. Тот факт, что 
, записывают ещё в виде 
Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости
, на которой нарисован график функции 
, проведём горизонтальную полосу ширины 
вокруг горизонтальной прямой 
. Тот факт, что 
, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы , на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.Билет 2:
Вопрос 1: Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве:
1). Если точки на плоскости:
А(x1;y1) и В(x2;y2)
AB=
2). Если точки в пространстве:
М(x1;y1;z1) и N(x2;y2;z2)
MN=
Вопрос 2: Теоремы о пределах:
Теорема 1: Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
Распространяется на любое конечное число слагаемых и на алгебраическую сумму. Доказательство основывается на том, что если
, то f(x) можно записать как сумму предела и бесконечно малой величины. f(x)=a+ α(x), α(x) →0